Calcule o resultado das operações abaixo:
\frac{10 /-30^{2}+(3-j 4)}{(2+j 4)(3-j 5)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
\frac{10 /-30^{2}+(3-j 4)}{(2+j 4)(3-j 5)^{2}}.
Informações dadas:
\text{Numerador: }10 /-30^{2}+(3-j4).
\text{Denominador: }(2+j4)\,(3-j5)^{2}.
O objetivo é simplificar essa fração envolvendo números complexos e obter o resultado na forma algébrica (parte real + parte imaginária).

Passo 2

Primeiro avalio 10 /-30^{2}. Atenção à precedência de operações: a potência vem antes do sinal unário, então
-30^{2}=-(30^{2})=-(900)=-900.
Portanto
10 /-30^{2}=\frac{10}{-900}=-\frac{1}{90}.
Explicação curta: quando você vê -30^{2} sem parênteses, calcule 30^{2} e depois aplique o sinal negativo.

Passo 3

Agora computo o numerador somando -\dfrac{1}{90} com 3-j4.
Converto 3 para fração com denominador 90:
3=\frac{270}{90}.
Assim
-\frac{1}{90}+3-j4=\frac{270}{90}-\frac{1}{90}-j4=\frac{269}{90}-j4.
Logo o numerador é
\frac{269}{90}-j4.

Passo 4

Calculo (3-j5)^{2}. Regra: (a+jb)^{2}=a^{2}-b^{2}+j(2ab). Aqui a=3 e b=-5 (ou diretamente expandir):
(3-j5)^{2}=9-2\cdot3\cdot j5+(j5)^{2}=9-30j-25= -16-30j.
Portanto
(3-j5)^{2}=-16-30j.

Passo 5

Multiplico o outro fator do denominador:
(2+j4)(-16-30j).
Faço a distributiva (FOIL) e uso j^{2}=-1:
2\cdot(-16)+2\cdot(-30j)+j4\cdot(-16)+j4\cdot(-30j).
Calculo termo a termo:
2\cdot(-16)=-32,
2\cdot(-30j)=-60j,
j4\cdot(-16)=-64j,
j4\cdot(-30j)=-120j^{2}=-120(-1)=+120.
Somando:
-32+120+(-60j-64j)=88-124j.
Portanto o denominador é
88-124j.

Passo 6

Queremos dividir
\frac{\frac{269}{90}-j4}{88-124j}.
Multiplico numerador e denominador pelo conjugado do denominador 88+124j para eliminar a parte imaginária do denominador. Assim:
\frac{\left(\frac{269}{90}-j4\right)(88+124j)}{(88-124j)(88+124j)}.

Passo 7

Calculo primeiro o denominador (produto com conjugado):
(88-124j)(88+124j)=88^{2}+(124)^{2}=7744+15376=23120.

Passo 8

Agora calculo o numerador complexo. Uso a=\dfrac{269}{90} e b=-4 e multiplico por c=88, d=124 (pois o conjugado é 88+124j):
A parte real do produto é ac-bd:
ac=\frac{269}{90}\cdot 88=\frac{23672}{90}=\frac{11836}{45},
bd=(-4)\cdot 124=-496,
ac-bd=\frac{11836}{45}-(-496)=\frac{11836}{45}+\frac{496\cdot 45}{45}=\frac{11836+22320}{45}=\frac{34156}{45}.
A parte imaginária do produto é ad+bc:
ad=\frac{269}{90}\cdot 124=\frac{33356}{90},
bc=(-4)\cdot 88=-352,
ad+bc=\frac{33356}{90}-352=\frac{33356-352\cdot 90}{90}=\frac{33356-31680}{90}=\frac{1676}{90}=\frac{838}{45}.
Logo o numerador após multiplicar pelo conjugado é
\frac{34156}{45}+j\frac{838}{45}.

Passo 9

Agora divido pelo escalar 23120:
\frac{\frac{34156}{45}+j\frac{838}{45}}{23120}=\frac{34156+ j\,838}{45\cdot 23120}=\frac{34156+j838}{1040400}.
Posso simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{17078+j419}{520200}.
Essa é a forma exata simplificada.

Resposta

\displaystyle \frac{17078+j419}{520200}

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