Para cada uma das funções de transferência em malha fechada abaixo, diga quantos polos estão no semiplano esquerdo, no semiplano direito e no eixo imaginário:
e pede: para os polos de T(s) (que são as raízes do denominador), quantos estão no semiplano esquerdo, quantos no semiplano direito e quantos no eixo imaginário.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A tarefa é contar as raízes de D(s) em cada uma das três regiões (LHP, RHP, eixo imaginário).
Passo 2
Breve explicação didática (o que são polos e como vamos contar):
Polos são as raízes do polinômio denominador D(s). Se uma raiz tem parte real negativa, é um polo no semiplano esquerdo (LHP); se tem parte real positiva, é no semiplano direito (RHP); se a parte real é zero e a imaginária não nula, está no eixo imaginário.
Para contar quantos polos estão em cada região sem precisar calcular todas as raízes explicitamente, usamos o critério de Routh–Hurwitz: montamos a tabela de Routh e observamos as mudanças de sinal na primeira coluna. Cada mudança de sinal corresponde a um polo no RHP. Se uma linha inteira da tabela for zero, isso indica pares de polos simétricos em relação ao eixo imaginário — nesse caso devemos construir o polinômio auxiliar para identificar raízes puramente imaginárias. Vou montar a tabela passo a passo.
Agora calculamos a linha s^2 usando a fórmula padrão: cada elemento é
\frac{\begin{vmatrix} \text{elemento acima à esquerda} & \text{elemento acima à direita} \\\ \text{elemento dois níveis acima à esquerda} & \text{elemento dois níveis acima à direita} \end{vmatrix}}{\text{elemento acima à esquerda da linha anterior}}.
O próximo elemento seria calculado com zeros e também dá 0. Assim a linha s^1 fica
s^1:\;0\quad 0.
Ou seja, temos uma linha inteira de zeros. Quando isso acontece, a regra do Routh diz que devemos formar o polinômio auxiliar A(s) a partir da linha imediatamente acima (a linha s^2) e usar sua derivada para substituir a linha nula. Vamos fazer isso.
Passo 5
A partir da linha s^2 que contém os coeficientes 3 e 15, formamos o polinômio auxiliar
A(s)=3 s^{2}+15.
Observação: podemos simplificar A(s)=3(s^{2}+5). As raízes de A(s) são dadas por s^{2}+5=0, ou seja s=\pm j\sqrt{5} — dois polos puramente imaginários. Isso já indica a presença de dois polos no eixo imaginário. Mas para completar a tabela de Routh procedemos com a derivada de A(s).
Derivada do polinômio auxiliar:
A'(s)=6 s.
Substituímos os coeficientes de A'(s) na linha s^1 (essa é a técnica padrão para o caso de linha nula). Assim a linha s^1 torna-se:
s^1:\;6\quad 0.
Passo 6
Agora calculamos a linha s^0 usando a linha s^1 atualizada e a linha s^2:
Primeiro (e único relevante) elemento da linha s^0:
\frac{6\cdot 15 - 3\cdot 0}{6} = \frac{90}{6}=15.
Então a tabela final (apenas primeira coluna relevante) é:
Observamos a primeira coluna: 1,\,4,\,3,\,6,\,15. Todos os elementos são positivos, ou seja NÃO há troca de sinal. Pelo critério de Routh–Hurwitz, o número de mudanças de sinal na primeira coluna é igual ao número de polos no semiplano direito (RHP). Aqui há 0 mudanças de sinal, portanto não há polos no RHP.
Tivemos uma linha inteira de zeros (linha s^1); isso indicou a existência do polinômio auxiliar A(s)=3(s^{2}+5) cujas raízes são s=\pm j\sqrt{5}. Portanto existem exatamente dois polos no eixo imaginário.
O polinômio é de grau 4. Como não há polos no RHP (0) e há 2 polos no eixo imaginário, os polos restantes (4-0-2=2) estão no semiplano esquerdo (LHP).
Passo 8
Verificação adicional (fatoração direta, útil para entender as raízes): podemos tentar fatorar D(s) sabendo que s^{2}+5 é um fator associado aos polos imaginários. Dividindo
s^{4}+4 s^{3}+8 s^{2}+20 s+15
por (s^{2}+5) obtemos o quociente
s^{2}+4 s+3,
ou seja
D(s)=(s^{2}+5)(s^{2}+4 s+3).
As raízes de s^{2}+4 s+3=0 são s=-1 e s=-3, que estão claramente no semiplano esquerdo. E as raízes de s^{2}+5=0 são s=\pm j\sqrt{5}, no eixo imaginário. Isso confirma a contagem anterior.
Resposta
Polos no semiplano esquerdo: 2
Polos no semiplano direito: 0
Polos no eixo imaginário: 2