Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.
\pi \int_{-1}^{1}\left(1-y^{2}\right) d y

Passo 1

O enunciado pede: “Descreva o sólido” representado pela integral
\pi \int_{-1}^{1}\left(1-y^{2}\right)\,dy.
Informações dadas:
\text{fator externo: }\pi,\qquad \text{integrando: }1-y^{2},\qquad \text{variável de integração: }y,áçã
\text{limites: }y=-1\text{ até }y=1.é
Não vou resolver ainda; apenas registrei o que a integral fornece: um volume obtido integrando algo em função de y entre -1 e 1.

Passo 2

Vamos entender a fórmula que aparece aqui. Quando um volume é dado como uma integral do tipo
V=\int_{a}^{b} A(y)\,dy,
isso significa que estamos somando finas fatias (discos ou anéis) perpendiculares ao eixo y. Cada fatia em y tem área A(y) e espessura dy. No caso da forma
\pi\int_{a}^{b}R(y)^{2}\,dy,
a área de cada fatia é a área de um disco de raio R(y), ou seja A(y)=\pi R(y)^{2}. Portanto, sempre que vemos \pi multiplicando uma integral de uma expressão quadrática, é natural pensar em discos de raio R(y) com R(y)^{2} igual ao integrando (ou seja, integrando = R(y)^{2}).

Passo 3

Compare a integral do enunciado com a forma \pi\int R(y)^{2}\,dy. Temos
\pi\int_{-1}^{1}\left(1-y^{2}\right)\,dy=\pi\int_{-1}^{1}R(y)^{2}\,dy,
logo podemos identificar
R(y)^{2}=1-y^{2}\quad\Rightarrow\quad R(y)=\sqrt{\,1-y^{2}\,}.
Aqui R(y) é o raio do disco transversal perpendicular ao eixo y na altura y.

Passo 4

Interprete geometricamente R(y)=\sqrt{1-y^{2}}. Reescrevendo,
x=R(y)=\sqrt{1-y^{2}}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1-y^{2},
ou
x^{2}+y^{2}=1.
Essa é a equação do círculo de raio 1 centrado na origem no plano xy. A função x=\sqrt{1-y^{2}} descreve a meia-circunferência à direita (parte com x\ge0) do círculo unitário, para y\in[-1,1].

Passo 5

Agora imagine a curva x=\sqrt{1-y^{2}} para y de -1 a 1: é a semicircunferência direita do círculo unitário. Se essa semicircunferência é girada em torno do eixo y, cada ponto (x,y) gera um círculo (de revolução) de raio x. O conjunto de todos esses círculos forma um sólido 3D. Geometricamente, girar a semicircunferência direita x=\sqrt{1-y^{2}} em torno do eixo y produz exatamente a esfera de raio 1 centrada na origem. Uma maneira mental fácil de ver isso: o círculo unitário no plano gerado ao rodar dá uma esfera de raio 1.

Passo 6

Tecnicamente, pela fórmula de discos, a área do disco na altura y é
A(y)=\pi R(y)^{2}=\pi(1-y^{2}).
Integramos de -1 a 1 para somar as fatias:
V=\pi\int_{-1}^{1}(1-y^{2})\,dy.
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, calcule a primitiva do integrando:
\int (1-y^{2})\,dy=\int 1\,dy-\int y^{2}\,dy = y-\frac{y^{3}}{3}+C.
Agora avalie entre os limites:
\int_{-1}^{1}(1-y^{2})\,dy=\left[y-\frac{y^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}.
Calcule os valores:
\left(1-\frac{1^{3}}{3}\right)-\left(-1-\frac{(-1)^{3}}{3}\right)=\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}.
Multiplicando pelo \pi externo,
V=\pi\cdot\frac{4}{3}=\frac{4\pi}{3}.

Passo 7

Conclusão didática e resumo: a integral representa o volume do sólido obtido ao girar a semicircunferência direita do círculo unitário x^{2}+y^{2}=1 (para x\ge0, y\in[-1,1]) em torno do eixo y. Esse sólido é a esfera de raio 1 centrada na origem. O volume calculado pela integral é \dfrac{4\pi}{3}, que coincide com a fórmula conhecida do volume de uma esfera de raio 1.

Resposta

Esfera de raio 1 centrada na origem; volume \dfrac{4\pi}{3}.

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