Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.
Passo 1
O enunciado pede: “Descreva o sólido” representado pela integral
Informações dadas:
Não vou resolver ainda; apenas registrei o que a integral fornece: um volume obtido integrando algo em função de
entre
e
.
Passo 2
Vamos entender a fórmula que aparece aqui. Quando um volume é dado como uma integral do tipo
isso significa que estamos somando finas fatias (discos ou anéis) perpendiculares ao eixo
. Cada fatia em
tem área
e espessura
. No caso da forma
a área de cada fatia é a área de um disco de raio
, ou seja
. Portanto, sempre que vemos
multiplicando uma integral de uma expressão quadrática, é natural pensar em discos de raio
com
igual ao integrando (ou seja, integrando =
).
Passo 3
Compare a integral do enunciado com a forma
. Temos
logo podemos identificar
Aqui
é o raio do disco transversal perpendicular ao eixo
na altura
.
Passo 4
Interprete geometricamente
. Reescrevendo,
ou
Essa é a equação do círculo de raio
centrado na origem no plano
. A função
descreve a meia-circunferência à direita (parte com
) do círculo unitário, para
.
Passo 5
Agora imagine a curva
para
de
a
: é a semicircunferência direita do círculo unitário. Se essa semicircunferência é girada em torno do eixo
, cada ponto
gera um círculo (de revolução) de raio
. O conjunto de todos esses círculos forma um sólido 3D. Geometricamente, girar a semicircunferência direita
em torno do eixo
produz exatamente a esfera de raio
centrada na origem. Uma maneira mental fácil de ver isso: o círculo unitário no plano gerado ao rodar dá uma esfera de raio 1.
Passo 6
Tecnicamente, pela fórmula de discos, a área do disco na altura
é
Integramos de
a
para somar as fatias:
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, calcule a primitiva do integrando:
Agora avalie entre os limites:
Calcule os valores:
Multiplicando pelo
externo,
Passo 7
Conclusão didática e resumo: a integral representa o volume do sólido obtido ao girar a semicircunferência direita do círculo unitário
(para
,
) em torno do eixo
. Esse sólido é a esfera de raio
centrada na origem. O volume calculado pela integral é
, que coincide com a fórmula conhecida do volume de uma esfera de raio
.
Resposta
Esfera de raio
centrada na origem; volume
.