Em um circuito RL sem fonte temos:
\begin{gathered} v(t)=90 \cdot e^{-1000 t} V \\\ i(t)=3 \cdot e^{-1000 t} m A, t>0 \end{gathered}
(a) Determine R e L
(b) Calcule a constante de tempo \tau

Passo 1

Dados do enunciado:
\begin{gathered} v(t)=90\cdot e^{-1000 t}\\ \text{V},\\[4pt] i(t)=3\cdot e^{-1000 t}\\ \text{mA},\quad t>0. \end{gathered}
O enunciado pede:
(a) determinar R e L;
(b) calcular a constante de tempo \tau.]

Passo 2

Primeiro passo prático: passar tudo para unidades SI para não nos perder. Converto a corrente para ampères:
i(t)=3\cdot e^{-1000 t}\\ \text{mA} = 0{,}003\cdot e^{-1000 t}\\ \text{A}.
Os valores iniciais são:
v(0)=90\\ \text{V},\qquad i(0)=0{,}003\\ \text{A}.

Passo 3

Agora recordar as equações do circuito RL (série) sem fonte (resposta natural). As relações elementares são:
v_R(t)=R\,i(t),
v_L(t)=L\,\frac{di(t)}{dt},
e pela KVL (sem fonte)
v_R(t)+v_L(t)=0.
Também, a equação diferencial para a corrente é
L\frac{di}{dt}+R i=0,
cuja solução geral é
i(t)=I_0\,e^{-\frac{R}{L}t}.
Aqui \tau (constante de tempo) é
\tau=\frac{L}{R},
e a taxa de decaimento exponencial é \dfrac{R}{L}=\dfrac{1}{\tau}.

Passo 4

Comparo o formato da solução geral com a corrente dada. Temos i(t)=I_0 e^{-1000 t}, logo o coeficiente do expoente satisfaz
\frac{R}{L}=1000\quad\Longrightarrow\quad \tau=\frac{L}{R}=\frac{1}{1000}.
Assim já vejo que
\tau=0{,}001\\ \text{s}=1\\ \text{ms}.
Mas ainda falta R e L separadamente.

Passo 5

Agora identifico o que é v(t). Se v(t) fosse a tensão total do laço em ausência de fonte, pela KVL teríamos v_{\text{total}}=0 — o que contraria v(t)=90e^{-1000t}\neq0. Portanto v(t) fornecido corresponde à tensão em um dos elementos; o mais natural (e consistente) é interpretar v(t) como a tensão no resistor v_R(t). Assim usamos
v_R(t)=R\,i(t).
Como v_R(t) e i(t) têm o mesmo fator exponencial, a razão entre eles é constante e dá R:
R=\frac{v_R(t)}{i(t)}=\frac{90\cdot e^{-1000 t}}{0{,}003\cdot e^{-1000 t}}=\frac{90}{0{,}003}.

Passo 6

Faço a conta explícita para R:
R=\frac{90}{0{,}003}=30{,}000\\ \Omega = 30\\ \text{k}\Omega.
(Respirei fundo — é só um número grande, tranquilo.)

Passo 7

Com R conhecido e a relação \dfrac{R}{L}=1000 já obtida, encontro L:
L=\frac{R}{1000}=\frac{30{,}000}{1000}=30\\ \text{H}.
Posso conferir usando a tensão do indutor: \dfrac{di}{dt}=-1000\cdot 0{,}003 e^{-1000 t}=-3 e^{-1000 t}\\ \text{A/s}. Então
v_L(t)=L\frac{di}{dt}=30\cdot(-3)e^{-1000 t}=-90 e^{-1000 t}\\ \text{V},
e como v_R+v_L=90e^{-1000 t}-90e^{-1000 t}=0 tudo bate.

Resposta

(a) R=30\\ \text{k}\Omega,\quad L=30\\ \text{H}
(b) \tau=0{,}001\\ \text{s}=1\\ \text{ms}

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