Em cada item abaixo, calcule a derivada da função 
  no ponto 
  indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
$m) 
 
$m)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função 
  no ponto 
 . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que envolve limites, e vamos precisar lembrar como funciona a função seno hiperbólico (
 ).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de 
  no ponto 
  é dada por:
Isso significa que vamos calcular esse limite para encontrar a taxa de variação da função em 
 .
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função 
  no ponto 
 :
Sabemos que 
  (pois 
 ), então simplificamos para:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite 
 . Sabemos que:
Então, substituindo na expressão do limite:
Podemos usar a expansão de 
  e 
  em série de Taylor:
Subtraindo essas duas séries:
Dividindo por 
 :
Quando 
  tende a 0, todos os termos com 
  desaparecem, restando apenas 1.
Resposta
A derivada de 
  no ponto 
  é: