Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
© f(x) = raiz(x), x0 = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função no ponto . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas. Para resolver, vamos usar a definição de derivada, que envolve limites. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação da função nesse ponto, ou seja, como a função está mudando naquele ponto específico.

Passo 3

A definição de derivada no ponto é dada por:
Aqui, vamos substituir e .

Passo 4

Substituindo na fórmula:
Sabemos que , então:

Passo 5

Esse limite está numa forma que não conseguimos resolver diretamente porque se substituirmos , teríamos divisão por zero. Então, precisamos racionalizar o numerador para simplificar.
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é :

Passo 6

No numerador, usamos a identidade :
Então, temos:

Passo 7

Agora, podemos simplificar no numerador e denominador:

Passo 8

Agora, podemos substituir por 4 diretamente, já que não há mais indeterminação:

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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