Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a derivada da função no ponto
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de derivadas usando a definição de limite. Então, vamos precisar entender como aplicar a definição de derivada para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
no ponto
é o limite da razão de diferenças quando
se aproxima de zero:
Esse limite representa a inclinação da tangente à curva da função no ponto
.
Passo 3
Aplicando a definição à nossa função no ponto
, substituímos na fórmula:
Simplificando os termos dentro da função seno:
Sabemos que , então:
Passo 4
Agora, precisamos resolver o limite:
Para facilitar, vamos manipular a expressão para usar um limite conhecido. Sabemos que:
Vamos fazer uma substituição: seja
. Quando
,
. Então, podemos reescrever o limite:
Resposta
A derivada da função no ponto
é
.