Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(h) f(x) = sen(5 x), x0 = 0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a derivada da função no ponto . Esse exercício está relacionado ao cálculo de derivadas usando a definição de limite. Então, vamos precisar entender como aplicar a definição de derivada para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é o limite da razão de diferenças quando se aproxima de zero:
Esse limite representa a inclinação da tangente à curva da função no ponto .

Passo 3

Aplicando a definição à nossa função no ponto , substituímos na fórmula:
Simplificando os termos dentro da função seno:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, precisamos resolver o limite:
Para facilitar, vamos manipular a expressão para usar um limite conhecido. Sabemos que:
Vamos fazer uma substituição: seja . Quando , . Então, podemos reescrever o limite:

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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