Em cada item abaixo, calcule o volume do tetraedro e do paralelepípedo formado pelos vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}.
\vec{a}=(-2,4,-2), \vec{b}=(-1,3,8) e \vec{c}=(5,4,0)

Passo 1

O enunciado pede os volumes do paralelepípedo e do tetraedro gerados pelos vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Para isso, usaremos o produto misto e a relação
\mathrm{Vol}_{\text{par}} = \bigl|\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\bigr|
e
\mathrm{Vol}_{\text{tetra}} = \frac{1}{6}\,\mathrm{Vol}_{\text{par}}.
Precisamos então calcular
\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).

Passo 2

Calculamos o produto vetorial \vec{b}\times\vec{c}:
\vec{b}\times\vec{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -1 & 3 & 8\\\\ 5 & 4 & 0 \end{vmatrix} = (3\cdot0 - 8\cdot4)\,\mathbf{i} - \bigl((-1)\cdot0 - 8\cdot5\bigr)\,\mathbf{j} + \bigl((-1)\cdot4 - 3\cdot5\bigr)\,\mathbf{k} = (-32,\,40,\,-19).

Passo 3

Em seguida, o produto misto é
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = (-2,\,4,\,-2)\cdot(-32,\,40,\,-19) = (-2)(-32) + 4\cdot40 + (-2)(-19) = 64 + 160 + 38 = 262.

Passo 4

Logo,
\mathrm{Vol}_{\text{par}} = |262| = 262
e
\mathrm{Vol}_{\text{tetra}} = \frac{1}{6}\times262 = \frac{262}{6} = \frac{131}{3}.

Resposta

Volume do paralelepípedo: 262
Volume do tetraedro: \frac{131}{3}

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