Em cada item abaixo, calcule o volume do tetraedro e do paralelepípedo formado pelos vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}.
\vec{a}=(3,1,4), \vec{b}=(-7,3,5) e \vec{c}=(2,3,2)

Passo 1

O enunciado dá três vetores \vec{a}=(3,1,4), \vec{b}=(-7,3,5) e \vec{c}=(2,3,2)
e pede o volume do paralelepípedo gerado por eles e o volume do tetraedro com vértices na origem e nas pontas desses vetores.
O conteúdo aqui é o produto misto em \mathbb{R}^3: o volume do paralelepípedo é \bigl|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\bigr|,
e o do tetraedro é \tfrac{1}{6} desse valor.

Passo 2

O produto misto pode ser escrito como determinante da matriz cujas colunas são \vec{a},\vec{b},\vec{c}:
\det\begin{pmatrix} 3 & -7 & 2\\\\ 1 & 3 & 3\\\\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos calcular esse determinante por desenvolvimento na primeira linha:
\det\begin{pmatrix} 3 & -7 & 2\\\\ 1 & 3 & 3\\\\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix} =3\det\begin{pmatrix}3&3\\\ 5&2\end{pmatrix} -(-7)\det\begin{pmatrix}1&3\\\ 4&2\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}1&3\\\ 4&5\end{pmatrix}.
Os subdeterminantes são
\det\begin{pmatrix}3&3\\\ 5&2\end{pmatrix}=3\cdot2-3\cdot5=-9, \quad \det\begin{pmatrix}1&3\\\ 4&2\end{pmatrix}=1\cdot2-3\cdot4=-10, \quad \det\begin{pmatrix}1&3\\\ 4&5\end{pmatrix}=1\cdot5-3\cdot4=-7.
Logo
\det = 3\cdot(-9)+7\cdot(-10)+2\cdot(-7) =-27-70-14=-111,
e o módulo vale \bigl|{-111}\bigr|=111.

Passo 4

O volume do paralelepípedo é
V_{\text{paral}}=111.

Passo 5

O volume do tetraedro é \tfrac{1}{6} do paralelepípedo:
V_{\text{tetra}}=\frac{1}{6}\,V_{\text{paral}} =\frac{111}{6} =\frac{37}{2}.

Resposta

Volume do paralelepípedo: 111.
Volume do tetraedro: \tfrac{37}{2}.

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