Em cada item abaixo, calcule o volume do tetraedro e do paralelepípedo formado pelos vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}.
\vec{a}=(2,1,4), \vec{b}=(-2,5,5) e \vec{c}=(1,1,2)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3: \vec a=(2,1,4), \vec b=(-2,5,5) e \vec c=(1,1,2).
Queremos o volume do paralelepípedo gerado por esses vetores e, em seguida, o volume do tetraedro formado por eles.
Para isso usamos o produto misto \vec a\cdot(\vec b\times\vec c), cuja magnitude é o volume do paralelepípedo, e lembramos que o tetraedro ocupa \tfrac16 desse volume.

Passo 2

Calcular o produto vetorial \vec b\times\vec c.
\vec b \times \vec c = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\\\ -2 & 5 & 5 \\\\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (5\cdot2 - 5\cdot1)\,\mathbf i -\bigl((-2)\cdot2 - 5\cdot1\bigr)\,\mathbf j +\bigl((-2)\cdot1 - 5\cdot1\bigr)\,\mathbf k = 5\,\mathbf i + 9\,\mathbf j -7\,\mathbf k
Logo, \vec b\times\vec c = (5,9,-7).

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec a\cdot(\vec b\times\vec c):
\vec a\cdot(\vec b\times\vec c) = (2,1,4)\cdot(5,9,-7) =2\cdot5 + 1\cdot9 + 4\cdot(-7) =10 + 9 -28 =-9.

Passo 4

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto misto:
V_{\text{par}} = \bigl|\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)\bigr| = |-9| = 9.

Passo 5

O volume do tetraedro cujo vértice comum gera essas três arestas é
V_{\text{tet}} = \frac{1}{6}\,V_{\text{par}} = \frac{1}{6}\cdot 9 = \frac{3}{2}.

Resposta

Volume do paralelepípedo: 9.
Volume do tetraedro: \tfrac{3}{2}.

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