Em cada item abaixo, calcule o volume do tetraedro e do paralelepípedo formado pelos vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}.
\vec{a}=(5,6,-3), \vec{b}=(6,3,4) e \vec{c}=(-2,0,2)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=(5,6,-3), \vec{b}=(6,3,4) e \vec{c}=(-2,0,2) e pede o volume do paralelepípedo formado por eles e também o volume do tetraedro determinado por esses três vetores. Vamos usar o produto misto (produto escalar triplo) para encontrar o volume do paralelepípedo e depois dividir por 6 para obter o volume do tetraedro.

Passo 2

O volume do paralelepípedo é dado por
V_{\text{par}} = \bigl|\det[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\bigr| = \bigl|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\bigr|.
E o volume do tetraedro é
V_{\text{tetra}} = \frac{1}{6}\,V_{\text{par}}.

Passo 3

Calcular o produto vetorial \vec{b}\times\vec{c}:
\vec{b}\times\vec{c} = \bigl(3\cdot2 - 4\cdot0,\;4\cdot(-2) - 6\cdot2,\;6\cdot0 - 3\cdot(-2)\bigr) = (6,\,-20,\,6).

Passo 4

Calcular o produto escalar \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}):
\vec{a}\cdot(6,-20,6) = 5\cdot6 + 6\cdot(-20) + (-3)\cdot6 = 30 - 120 - 18 = -108.

Passo 5

Tomando o valor absoluto, o volume do paralelepípedo é
V_{\text{par}} = |{-108}| = 108.
Então o volume do tetraedro é
V_{\text{tetra}} = \frac{1}{6}\times108 = 18.

Resposta

Volume do paralelepípedo: 108.
Volume do tetraedro: 18.

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