Em cada item abaixo, determinar o polinômio minimal de T e verificar se este é diagonalizável. Caso afirmativo, exibir a sua forma diagonal.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(1,1)=(2,2) e T(0,1)=(0,3).

Passo 1

O enunciado define T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 pelas imagens
T(1,1)=(2,2), \quad T(0,1)=(0,3).
Queremos encontrar o polinômio minimal de T e verificar se T é diagonalizável. Para isso, vamos:
  1. obter a matriz de T na base canônica;
  2. calcular o polinômio característico e, daí, o polinômio minimal;
  3. usar o fato de que raízes distintas no polinômio minimal garantem diagonalizabilidade;
  4. quando diagonalizável, exibir a forma diagonal.

Passo 2

Observamos que (1,1) e (0,1) formam uma base de \mathbb{R}^2. Em particular,
(1,0) = (1,1) - (0,1), \quad (0,1) = (0,1).
Logo
T(1,0) = T(1,1) - T(0,1) = (2,2) - (0,3) = (2,-1), \quad T(0,1) = (0,3).
Na base canônica \{e_1,e_2\}, a coluna 1 de A é T(e_1) e a coluna 2 é T(e_2). Assim,
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\[6pt] -1 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

O polinômio característico de A é
\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \det\!\begin{pmatrix}\lambda-2 & 0 \\\\ -\,1 & \lambda-3\end{pmatrix} = (\lambda-2)(\lambda-3).
Como os autovalores são 2 e 3 distintos, o polinômio minimal \mu_T(\lambda) deve conter cada fator uma vez:
\mu_T(\lambda) = (\lambda-2)\,(\lambda-3).

Passo 4

Um operador linear em espaço de dimensão finita é diagonalizável se, e somente se, o seu polinômio minimal se fatora em raízes simples. Como \mu_T(\lambda) tem raízes 2 e 3 simples, concluímos que T é diagonalizável.

Passo 5

Vamos encontrar autovetores.
Para \lambda=2, resolvemos
(A-2I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}0&0\\\ -1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; y=x,
então um autovetor é v_1=(1,1).
Para \lambda=3, resolvemos
(A-3I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-1&0\\\ -1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; x=0,
então um autovetor é v_2=(0,1).
Como \{v_1,v_2\} é base, a matriz de passagem
P = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}
leva A à forma diagonal
P^{-1} A\,P = \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix}.]

Resposta

O polinômio minimal de T é
\mu_T(\lambda) = (\lambda-2)(\lambda-3).
Como as raízes são distintas, T é diagonalizável, e em base de autovetores sua forma diagonal é
\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix}.

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