Em cada item abaixo, determinar o polinômio minimal de T e verificar se este é diagonalizável. Caso afirmativo, exibir a sua forma diagonal. T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(1,1)=(2,2) e T(0,1)=(0,3).
Passo 1
O enunciado define T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 pelas imagens
T(1,1)=(2,2), \quad T(0,1)=(0,3).
Queremos encontrar o polinômio minimal de T e verificar se T é diagonalizável. Para isso, vamos:
obter a matriz de T na base canônica;
calcular o polinômio característico e, daí, o polinômio minimal;
usar o fato de que raízes distintas no polinômio minimal garantem diagonalizabilidade;
quando diagonalizável, exibir a forma diagonal.
Passo 2
Observamos que (1,1) e (0,1) formam uma base de \mathbb{R}^2. Em particular,
\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) = \det\!\begin{pmatrix}\lambda-2 & 0 \\\\ -\,1 & \lambda-3\end{pmatrix} = (\lambda-2)(\lambda-3).
Como os autovalores são 2 e 3 distintos, o polinômio minimal \mu_T(\lambda) deve conter cada fator uma vez:
\mu_T(\lambda) = (\lambda-2)\,(\lambda-3).
Passo 4
Um operador linear em espaço de dimensão finita é diagonalizável se, e somente se, o seu polinômio minimal se fatora em raízes simples. Como \mu_T(\lambda) tem raízes 2 e 3 simples, concluímos que T é diagonalizável.
Passo 5
Vamos encontrar autovetores.
Para \lambda=2, resolvemos