Em cada item abaixo, determinar o polinômio minimal de T e verificar se este é diagonalizável. Caso afirmativo, exibir a sua forma diagonal.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que [T]_{c}^{c}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right), onde c é a base canônica do \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3 cuja matriz na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Precisamos encontrar o polinômio minimal de T, verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir a forma diagonal.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico \chi_T(\lambda)=\det(A-\lambda I). Primeiro escrevemos
A-\lambda I=\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 2\\\\ -1 & -\lambda & 1\\\\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo o determinante (por exemplo, pela primeira linha) obtém-se
\chi_T(\lambda)=-\bigl(\lambda-1\bigr)\bigl(\lambda+1\bigr)\bigl(\lambda-3\bigr).

Passo 3

As raízes do polinômio são \lambda=1,-1,3, todas simples. Logo o polinômio minimal, sendo monico e dividindo \chi_T, é
m_T(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-3).

Passo 4

Como m_T(\lambda) tem apenas raízes simples, concluímos que T é diagonalizável.

Passo 5

Agora achamos um autovetor para cada autovalor:
  1. Para \lambda=1, (A-I)v=0 leva a z=0 e y=-x. Um autovetor é
v_1=(1,-1,0).
  1. Para \lambda=-1, (A+I)v=0 leva a x=-z e y=-2z. Um autovetor é
v_2=(-1,-2,1).
  1. Para \lambda=3, (A-3I)v=0 leva a z=x e y=0. Um autovetor é
v_3=(1,0,1).
Tomando a matriz de passagem P=[\,v_1\;v_2\;v_3\,], obtemos a forma diagonal
P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,-1,3).

Resposta

O polinômio minimal é
m_T(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-3).
O operador T é diagonalizável e, na base de autovetores, sua matriz é
\mathrm{diag}(1,\,-1,\,3).

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