Em cada item abaixo, determinar o polinômio minimal de T e verificar se este é diagonalizável. Caso afirmativo, exibir a sua forma diagonal.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que [T]_{c}^{c}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), onde c é a base canônica do \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
[T]_c^c = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Precisamos encontrar o polinômio minimal de T e verificar se T é diagonalizável.

Passo 2

O polinômio característico de uma matriz triangular é o produto dos fatores (\lambda - a_{ii}). Logo,
\chi_T(\lambda)=\det\bigl([T]_c^c - \lambda I\bigr)=(1-\lambda)^3.

Passo 3

Definimos N = T - I, cuja matriz na base canônica é
[N]_c^c = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Calculando potências de N:
[N]_c^c{}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\neq 0, \quad [N]_c^c{}^3 = 0.
Isso mostra que (T - I)^3 = 0 mas (T - I)^2 \neq 0. O menor grau que anula T é, portanto, 3, e
m_T(x) = (x-1)^3.

Passo 4

Um operador é diagonalizável se, e somente se, seu polinômio minimal se fatorar em raízes simples. Aqui m_T(x) tem raiz única de multiplicidade 3, logo T não é diagonalizável.

Resposta

O polinômio minimal de T é m_T(x)=(x-1)^3 e T não é diagonalizável.

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