Em cada item abaixo, determinar o polinômio minimal de T e verificar se este é diagonalizável. Caso afirmativo, exibir a sua forma diagonal. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que [T]_{c}^{c}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), onde c é a base canônica do \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado define o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
Isso mostra que (T - I)^3 = 0 mas (T - I)^2 \neq 0. O menor grau que anula T é, portanto, 3, e
m_T(x) = (x-1)^3.
Passo 4
Um operador é diagonalizável se, e somente se, seu polinômio minimal se fatorar em raízes simples. Aqui m_T(x) tem raiz única de multiplicidade 3, logo Tnão é diagonalizável.
Resposta
O polinômio minimal de T é m_T(x)=(x-1)^3 e T não é diagonalizável.