Em cada item abaixo, determine a equação paramétrica da reta obtida como interseção dos planos dados.
y+2 z=1 e x+y+z=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação paramétrica da reta que é a interseção dos dois planos dados. As informações do enunciado são:
  • Plano 1: y+2z=1.
  • Plano 2: x+y+z=0.
Portanto quero uma representação paramétrica da reta L que satisfaz simultaneamente as duas equações acima.

Passo 2

Intuição geométrica e estratégia geral (passo-a-passo do que vamos fazer).
  • Dois planos não paralelos em \mathbb{R}^3 intersectam numa reta.
  • Para obter a reta podemos fazer duas coisas (ambas úteis em prova):
    1. Resolver o sistema linear formado pelas duas equações atribuindo um parâmetro a uma variável livre; ou
    2. Calcular um vetor diretor como produto vetorial dos vetores normais dos planos e, em seguida, achar um ponto de interseção para obter a forma vetorial da reta.
      Vou mostrar as duas ideias (são equivalentes); na prática usar uma delas (atribuir parâmetro) costuma ser mais rápido em prova.

Passo 3

Definir os vetores normais (para usar a segunda ideia e também para entender a geometria).
  • O coeficiente de x,y,z no plano dá o vetor normal. Para o plano y+2z=1 o coeficiente de x é 0, de y é 1 e de z é 2. Logo o normal é \mathbf{n}_1=(0,1,2).
  • Para o plano x+y+z=0 o normal é \mathbf{n}_2=(1,1,1).

Passo 4

Encontrar um vetor diretor da reta pela fórmula do produto vetorial (explicando o que é).
  • O produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 é um vetor perpendicular a ambos \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2, portanto paralelo à interseção (isto é, é um vetor diretor da reta).
  • Calcular:
\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] 0 & 1 & 2 \\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}
= \mathbf{i}(1\cdot1-2\cdot1)-\mathbf{j}(0\cdot1-2\cdot1)+\mathbf{k}(0\cdot1-1\cdot1)
= \mathbf{i}(-1)-\mathbf{j}(-2)+\mathbf{k}(-1)
= (-1,2,-1).
  • Portanto um vetor diretor da reta é \mathbf{v}=(-1,2,-1). Note que qualquer múltiplo não nulo de \mathbf{v} também serve (por exemplo (1,-2,1) é -1 vezes \mathbf{v}).]

Passo 5

Método direto que é mais usado em prova: escolher uma variável como parâmetro e resolver o sistema.
  • Como temos duas equações e três incógnitas x,y,z, é natural tomar uma variável livre, por exemplo definir z=t (onde t será o parâmetro real).
  • Substituir z=t na primeira equação y+2z=1 para achar y:
y+2t=1 \quad\Rightarrow\quad y=1-2t.
  • Substituir y e z na segunda equação x+y+z=0 para achar x:
x+(1-2t)+t=0 \quad\Rightarrow\quad x+1-2t+t=0
\Rightarrow\quad x+1-t=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1+t.

Passo 6

Escrever as equações paramétricas finais em forma componente (forma usual na prova).
  • Com o parâmetro t obtém-se:
x=-1+t, \qquad y=1-2t, \qquad z=t.
Isto é a equação paramétrica da reta. (Pode-se rearranjar para exibir um ponto e um vetor diretor.)

Passo 7

Exibir a forma vetorial/ponto + vetor diretor e comentar equivalência com o vetor obtido pelo produto vetorial.
  • Forma vetorial:
\mathbf{r}(t)=(-1,1,0)+t(1,-2,1).
  • Aqui o ponto (-1,1,0) é obtido tomando t=0 nas equações paramétricas (é um ponto que pertence a ambos os planos) e o vetor diretor (1,-2,1) é equivalente a -1 vez o vetor (-1,2,-1) que encontramos pelo produto vetorial. Vetores diretores que diferem por escala representam a mesma direção da reta.

Passo 8

Verificação rápida (sempre faça em prova para evitar erro de sinal).
  • Verificar que o ponto (-1,1,0) satisfaz os dois planos:
y+2z=1 \Rightarrow 1+2\cdot0=1 \quad\checkmark
x+y+z=0 \Rightarrow (-1)+1+0=0 \quad\checkmark
  • Verificar que o vetor diretor (1,-2,1) é ortogonal aos normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2:
\mathbf{n}_1\cdot(1,-2,1) = 0\cdot1 + 1\cdot(-2) + 2\cdot1 = -2+2=0,
\mathbf{n}_2\cdot(1,-2,1) = 1\cdot1 + 1\cdot(-2) + 1\cdot1 = 1-2+1=0.
Logo está tudo consistente.

Passo 9

Dicas para a prova (prático e rápido)
  • Se pedirem só uma equação paramétrica, escolher z=t ou x=t ou y=t é comum; escolha a que deixa contas mais simples.
  • Sempre reporte a reta tanto em equações paramétricas quanto (se pedirem) em forma vetorial \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v}.
  • Se quiser o vetor diretor rápido sem resolver o sistema, calcule o produto vetorial dos normais (como fiz) — é garantia de obter a direção correta.

Resposta

x=-1+t
y=1-2t
z=t

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