Em cada item abaixo, determine a equação paramétrica da reta obtida como interseção dos planos dados.
e
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação paramétrica da reta que é a interseção dos dois planos dados. As informações do enunciado são:
- Plano 1:
. - Plano 2:
.
Portanto quero uma representação paramétrica da reta
que satisfaz simultaneamente as duas equações acima.
Passo 2
Intuição geométrica e estratégia geral (passo-a-passo do que vamos fazer).
- Dois planos não paralelos em
intersectam numa reta. - Para obter a reta podemos fazer duas coisas (ambas úteis em prova):
- Resolver o sistema linear formado pelas duas equações atribuindo um parâmetro a uma variável livre; ou
- Calcular um vetor diretor como produto vetorial dos vetores normais dos planos e, em seguida, achar um ponto de interseção para obter a forma vetorial da reta.
Vou mostrar as duas ideias (são equivalentes); na prática usar uma delas (atribuir parâmetro) costuma ser mais rápido em prova.
Passo 3
Definir os vetores normais (para usar a segunda ideia e também para entender a geometria).
- O coeficiente de
no plano dá o vetor normal. Para o plano o coeficiente de é , de é e de é . Logo o normal é . - Para o plano
o normal é .
Passo 4
Encontrar um vetor diretor da reta pela fórmula do produto vetorial (explicando o que é).
- O produto vetorial
é um vetor perpendicular a ambos e , portanto paralelo à interseção (isto é, é um vetor diretor da reta). - Calcular:
- Portanto um vetor diretor da reta é
. Note que qualquer múltiplo não nulo de também serve (por exemplo é vezes ).]
Passo 5
Método direto que é mais usado em prova: escolher uma variável como parâmetro e resolver o sistema.
- Como temos duas equações e três incógnitas
, é natural tomar uma variável livre, por exemplo definir (onde será o parâmetro real). - Substituir
na primeira equação para achar :
- Substituir
e na segunda equação para achar :
Passo 6
Escrever as equações paramétricas finais em forma componente (forma usual na prova).
- Com o parâmetro
obtém-se:
Isto é a equação paramétrica da reta. (Pode-se rearranjar para exibir um ponto e um vetor diretor.)
Passo 7
Exibir a forma vetorial/ponto + vetor diretor e comentar equivalência com o vetor obtido pelo produto vetorial.
- Forma vetorial:
- Aqui o ponto
é obtido tomando nas equações paramétricas (é um ponto que pertence a ambos os planos) e o vetor diretor é equivalente a vez o vetor que encontramos pelo produto vetorial. Vetores diretores que diferem por escala representam a mesma direção da reta.
Passo 8
Verificação rápida (sempre faça em prova para evitar erro de sinal).
- Verificar que o ponto
satisfaz os dois planos:
- Verificar que o vetor diretor
é ortogonal aos normais e :
Logo está tudo consistente.
Passo 9
Dicas para a prova (prático e rápido)
- Se pedirem só uma equação paramétrica, escolher
ou ou é comum; escolha a que deixa contas mais simples. - Sempre reporte a reta tanto em equações paramétricas quanto (se pedirem) em forma vetorial
. - Se quiser o vetor diretor rápido sem resolver o sistema, calcule o produto vetorial dos normais (como fiz) — é garantia de obter a direção correta.