Em cada item abaixo, determine a equação paramétrica da reta obtida como interseção dos planos dados.
2 x-y+2=0 e x+z=0

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede a equação paramétrica da reta que é a interseção entre eles. As equações fornecidas são:
2x - y + 2 = 0
x + z = 0
As perguntas implícitas: encontrar uma reta (se existir) que satisfaça simultaneamente as duas equações, e escrever sua parametrização (equações paramétricas de x,y,z em função de um parâmetro).

Passo 2

Ideia geral (sem ainda calcular): a interseção de dois planos, quando não são paralelos, é uma reta. Para descrever essa reta parametricamente precisamos de:
  • um vetor diretor \vec{v} da reta (direção),
  • um ponto \mathbf{r}_0=(x_0,y_0,z_0) pertencente à reta (um ponto particular).
Uma forma prática de obter \vec{v} é usar o produto vetorial entre os vetores normais dos planos: se n_1 e n_2 são normais, então \vec{v}=n_1\times n_2 é paralelo à reta (porque \vec{v} é perpendicular a ambos os normais). Vou agora identificar os normais e calcular o produto vetorial.

Passo 3

Determinar os vetores normais dos planos:
  • Do plano \,2x - y + 2 = 0, o vetor normal é n_1 = (2,-1,0). (Os coeficientes de x,y,z dão o normal; aqui o coeficiente de z é 0.)
  • Do plano \,x + z = 0, o vetor normal é n_2 = (1,0,1).
Calcular o produto vetorial \vec{v} = n_1 \times n_2. Vou fazer o cálculo passo a passo usando a definição (determinante 3x3):
\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & -1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}.
Os componentes são:
v_x = (-1)\cdot 1 - 0\cdot 0 = -1,
v_y = 0\cdot 1 - 2\cdot 1 = -2,
v_z = 2\cdot 0 - (-1)\cdot 1 = 1.
Logo
\vec{v} = (-1,-2,1).
Observação prática: pode multiplicar \vec{v} por -1 para obter um vetor diretor equivalente (1,2,-1); ambos funcionam igualmente bem.

Passo 4

Agora precisamos de um ponto particular que satisfaça as duas equações. É comum escolher um valor simples para uma das variáveis e resolver as outras duas. Por exemplo, escolher z=0 é conveniente. Substituindo em \,x+z=0 temos
x + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0.
Substituindo x=0 e z=0 na primeira equação \,2x - y + 2 = 0 obtemos
2\cdot 0 - y + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad -y + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 2.
Logo o ponto particular escolhido é \mathbf{r}_0 = (0,2,0). Esse ponto pertence a ambos os planos (pode-se verificar substituindo nas duas equações).

Passo 5

Montar a equação paramétrica da reta usando a forma vetorial
\mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + t\,\vec{v},
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro, \mathbf{r}_0=(0,2,0) e \vec{v}=(1,2,-1) (escolhi a versão multiplicada por -1 para ficar com coordenada inicial positiva). Assim:
\mathbf{r}(t) = (0,2,0) + t(1,2,-1).
Escrevendo em componentes (equações paramétricas):
x(t) = t,
y(t) = 2 + 2t,
z(t) = -t,
com t\in\mathbb{R}.
Verificação rápida (rápida checagem que é correto): substituindo essas expressões em \,x+z=0 t + (-t)=0 e em \,2x-y+2=0 2t - (2+2t) + 2 = 0; ambas são satisfeitas, portanto a parametrização está correta.

Resposta

x=t,\qquad y=2+2t,\qquad z=-t,\quad t\in\mathbb{R}

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