Para cada item abaixo, determine um valor delta > 0 (em função de epsilon ) que torne a implicação verdadeira: |x-2|<delta => |f(x)-5|<epsilon, onde f(x) = 2 x + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve a definição de limite usando os conceitos de epsilon e delta. A gente tem a função e precisa achar um valor positivo de delta em função de epsilon que faça a implicação ser verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a implicação está dizendo. Queremos que, se a distância entre x e for menor que delta, então a distância entre f(x) e seja menor que epsilon.
Matematicamente, isso significa que:

Passo 3

Vamos substituir a função f(x) na expressão:
Simplificando o lado direito:
Então, a implicação fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar . Podemos fatorar o 2 de dentro do módulo:
Então, a implicação vira:

Passo 5

Queremos que . Para isso, basta dividirmos ambos os lados por 2:

Passo 6

Comparando com a condição original , percebemos que para garantir que , basta escolher:

Resposta

Então, o valor de delta que satisfaz a implicação é:

Exercícios relacionados