Para cada item abaixo, determine um valor
(em função de
) que torne a implicação verdadeira:
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve a definição de limite usando os conceitos de
e
. A gente tem a função
e precisa achar um valor positivo de
em função de
que faça a implicação
ser verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a implicação está dizendo. Queremos que, se a distância entre
e
for menor que
, então a distância entre
e
seja menor que
.
Matematicamente, isso significa que:
Passo 3
Vamos substituir a função
na expressão:
Simplificando o lado direito:
Então, a implicação fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar
. Podemos fatorar o 2 de dentro do módulo:
Então, a implicação vira:
Passo 5
Queremos que
. Para isso, basta dividirmos ambos os lados por 2:
Passo 6
Comparando com a condição original
, percebemos que para garantir que
, basta escolher:
Resposta
Então, o valor de
que satisfaz a implicação é: