Em cada item abaixo, encontre as equações vetorial e geral do plano que passa pelos pontos P_{0}, P_{1} e P_{2}.
P_{0}=(2,1,4), P_{1}=(1,4,5) e P_{2}=(-3,4,2)

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial e a equação geral do plano que passa pelos pontos P_{0}=(2,1,4), P_{1}=(1,4,5) e P_{2}=(-3,4,2).
Para isso vamos precisar de dois vetores diretores no plano (obtidos subtraindo as coordenadas dos pontos) e do vetor normal ao plano (produto vetorial desses diretores).

Passo 2

Calculemos os vetores diretores
\vec v_{1} = P_{1} - P_{0} = (1-2,\;4-1,\;5-4) = (-1,\,3,\,1),
\vec v_{2} = P_{2} - P_{0} = (-3-2,\;4-1,\;2-4) = (-5,\,3,\,-2).

Passo 3

O vetor normal \vec n ao plano é dado pelo produto vetorial \vec v_{1}\times \vec v_{2}:
\vec n = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -1 & 3 & 1\\\\ -5 & 3 & -2 \end{vmatrix} = (-9,\,-7,\,12).

Passo 4

A equação vetorial do plano, usando P_{0} como ponto de referência e parâmetros s,t, é
(x,y,z) = (2,1,4) + s\,(-1,3,1) + t\,(-5,3,-2).

Passo 5

A equação geral surge da forma ponto–normal \vec n\cdot\bigl((x,y,z)-P_{0}\bigr)=0:
(-9,\,-7,\,12)\cdot(x-2,\;y-1,\;z-4)=0.
Desenvolvendo,
-9(x-2)-7(y-1)+12(z-4)=0
-9x+18 -7y+7 +12z-48=0
-9x -7y +12z -23 = 0
que também pode ser escrito como
9x +7y -12z +23 = 0.

Resposta

Equação vetorial:
(x,y,z) = (2,1,4) + s\,(-1,3,1) + t\,(-5,3,-2).
Equação geral (forma padrão):
9x +7y -12z +23 = 0.

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