Em cada item abaixo, encontre as equações vetorial e geral do plano que passa pelos pontos P_{0}, P_{1} e P_{2}.
P_{0}=(3,1,4), P_{1}=(-7,3,5) e P_{2}=(2,3,2)

Passo 1

O enunciado pede as equações vetorial (paramétrica) e geral (a x+b y+c z+d =0) do plano que passa por P_{0}=(3,1,4), P_{1}=(-7,3,5) e P_{2}=(2,3,2).
Conteúdo: geometria analítica espacial – plano definido por três pontos. Vamos precisar de dois vetores direção no plano e do vetor normal obtido pelo produto vetorial deles.

Passo 2

Calculamos dois vetores que ligam P_{0} a P_{1} e a P_{2}:
\mathbf{v}_{1} = P_{1} - P_{0} = (-7-3,\;3-1,\;5-4) = (-10,\,2,\,1),
\mathbf{v}_{2} = P_{2} - P_{0} = (2-3,\;3-1,\;2-4) = (-1,\,2,\,-2).

Passo 3

A equação vetorial do plano usa um ponto base \mathbf{r}_{0}=P_{0}=(3,1,4) e as direções \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}. Se \mathbf{r}=(x,y,z), então
\mathbf{r} \;=\; \mathbf{r}_{0} \;+\; s\,\mathbf{v}_{1} \;+\; t\,\mathbf{v}_{2},\qquad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Para achar a equação geral precisamos de um vetor normal \mathbf{n} ao plano, dado por
\mathbf{n} \;=\; \mathbf{v}_{1} \times \mathbf{v}_{2}.
Calculando o produto vetorial:
\mathbf{n} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -10 & 2 & 1\\\\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix} =(2\cdot(-2)-1\cdot2)\,\mathbf{i} -((-10)\cdot(-2)-1\cdot(-1))\,\mathbf{j} +((-10)\cdot2-2\cdot(-1))\,\mathbf{k}
\mathbf{n} =(-4-2,\,-(20+1),\,-20+2) =(-6,\,-21,\,-18).
Podemos simplificar dividindo por -3:
\mathbf{n} = (2,\,7,\,6).

Passo 5

A forma geral do plano é
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0})=0.
Substituindo \mathbf{n}=(2,7,6) e \mathbf{r}_{0}=(3,1,4) e \mathbf{r}=(x,y,z):
2(x-3) + 7(y-1) + 6(z-4) = 0
2x - 6 + 7y - 7 + 6z - 24 = 0
2x + 7y + 6z - 37 = 0.

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf{r} = (3,1,4) + s\,(-10,2,1) + t\,(-1,2,-2),\quad s,t\in\mathbb{R}.
Equação geral:
2x + 7y + 6z - 37 = 0.

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