Em cada item abaixo, encontre as equações vetorial e geral do plano que passa pelos pontos P_{0}, P_{1} e P_{2}.
P_{0}=(2,-1,3), P_{1}=(-2,9,5) e P_{2}=(0,4,2)

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial e a equação geral do plano que passa pelos pontos
P_{0}=(2,-1,3),\quad P_{1}=(-2,9,5),\quad P_{2}=(0,4,2).
O conteúdo usado será: 1) obter dois vetores diretores a partir de P_{1}-P_{0} e P_{2}-P_{0}; 2) calcular o vetor normal ao plano como produto vetorial desses dois vetores; 3) montar a equação vetorial e a equação geral Ax+By+Cz+D=0.

Passo 2

Calcular os vetores que ligam P_{0} a P_{1} e a P_{2}:
\mathbf v_{1} = P_{1}-P_{0} = (-2-2,\;9-(-1),\;5-3) = (-4,10,2),
\mathbf v_{2} = P_{2}-P_{0} = (0-2,\;4-(-1),\;2-3) = (-2,5,-1).

Passo 3

Obter o vetor normal \mathbf n ao plano fazendo o produto vetorial
\mathbf n = \mathbf v_{1} \times \mathbf v_{2} = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ -4 & 10 & 2\\\\ -2 & 5 & -1 \end{vmatrix} = (-20,\,-8,\,0).
Para simplificar, podemos usar
\mathbf n = (5,2,0),
que é múltiplo de (-20,-8,0).

Passo 4

Montar a equação vetorial do plano usando P_{0} como ponto de passagem e \mathbf v_{1},\mathbf v_{2} como diretores:
\mathbf r = \mathbf r_{0} + s\,\mathbf v_{1} + t\,\mathbf v_{2},
onde \mathbf r = (x,y,z), \mathbf r_{0}=(2,-1,3), \mathbf v_{1}=(-4,10,2), \mathbf v_{2}=(-2,5,-1) e s,t\in\mathbb R. Logo,
\boxed{\mathbf r = (2,-1,3) + s\,(-4,10,2) + t\,(-2,5,-1).}

Passo 5

Obter a equação geral Ax+By+Cz+D=0 usando \mathbf n=(5,2,0) e o ponto P_{0}:
5(x-2) + 2\bigl(y-(-1)\bigr) + 0\,(z-3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5x -10 +2y +2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5x + 2y -8 = 0.
Portanto,
\boxed{5x + 2y - 8 = 0.}

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf r = (2,-1,3) + s\,(-4,10,2) + t\,(-2,5,-1), \quad s,t\in\mathbb R.
Equação geral:
5x + 2y - 8 = 0.

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