Em cada item, calcule v]_{\beta} com as informações dadas:
I]_{\beta}^{\gamma}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 2 & 0 \\\\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]\) e \([I]_{\gamma}^{\alpha}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1\end{array}\right]\) onde \(\left.v\right]_{\alpha}=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 3 \\\\ -1\end{array}\right]\);

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou escrever exatamente as matrizes e o vetor que recebemos):
  • \displaystyle [I]_{\beta}^{\gamma}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\[4pt] 2 & 2 & 0 \\[4pt] 1 & -1 & 0\end{array}\right].
  • \displaystyle [I]_{\gamma}^{\alpha}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 1\end{array}\right].
  • \displaystyle [v]_{\alpha}=\left[\begin{array}{r}2 \\[4pt] 3 \\[4pt] -1\end{array}\right].
O que o exercício pede: calcular \displaystyle [v]_{\beta}.]

Passo 2

Primeiro, interpretar o significado das matrizes de mudança de base e escrever a relação algébrica que vamos usar.
  • A matriz \displaystyle [I]_{\beta}^{\gamma} converte coordenadas de \gamma para coordenadas de \beta. Ou seja, para qualquer vetor v,
[v]_{\beta}=[I]_{\beta}^{\gamma}\,[v]_{\gamma}.
  • A matriz \displaystyle [I]_{\gamma}^{\alpha} converte coordenadas de \alpha para coordenadas de \gamma. Ou seja,
[v]_{\gamma}=[I]_{\gamma}^{\alpha}\,[v]_{\alpha}.
Combinando as duas relações (substituindo a segunda na primeira) obtemos a relação de composição:
[v]_{\beta} \;=\; [I]_{\beta}^{\gamma}\,[I]_{\gamma}^{\alpha}\,[v]_{\alpha}.
Explicação curta e didática: composição de aplicações lineares corresponde ao produto das matrizes que as representam; aqui aplicamos primeiro a transformação de \alpha para \gamma e depois de \gamma para \beta, por isso os fatores aparecem nessa ordem.

Passo 3

Vamos então calcular primeiro a matriz produto
M = [I]_{\beta}^{\gamma}\,[I]_{\gamma}^{\alpha}.
Seja A=[I]_{\beta}^{\gamma} e B=[I]_{\gamma}^{\alpha}. A regra de multiplicação de matrizes é
m_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{kj},
ou seja, cada elemento m_{ij} é a soma dos produtos da linha i de A com a coluna j de B.
Agora calculamos linha a linha.
Linha 1 de A é [1\\\ 0\\\ 1].
  • Coluna 1 de B é \displaystyle\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix}. Então
m_{11}=1\cdot3 + 0\cdot0 + 1\cdot2 = 3+0+2 = 5.
  • Coluna 2 de B é \displaystyle\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}. Então
m_{12}=1\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot1 = 0+0+1 = 1.
  • Coluna 3 de B é \displaystyle\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}. Então
m_{13}=1\cdot1 + 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1+0+1 = 2.
Linha 2 de A é [2\\\ 2\\\ 0].
  • Coluna 1 de B:
m_{21}=2\cdot3 + 2\cdot0 + 0\cdot2 = 6+0+0 = 6.
  • Coluna 2 de B:
m_{22}=2\cdot0 + 2\cdot1 + 0\cdot1 = 0+2+0 = 2.
  • Coluna 3 de B:
m_{23}=2\cdot1 + 2\cdot0 + 0\cdot1 = 2+0+0 = 2.
Linha 3 de A é [1\\\ -1\\\ 0].
  • Coluna 1 de B:
m_{31}=1\cdot3 + (-1)\cdot0 + 0\cdot2 = 3+0+0 = 3.
  • Coluna 2 de B:
m_{32}=1\cdot0 + (-1)\cdot1 + 0\cdot1 = 0-1+0 = -1.
  • Coluna 3 de B:
m_{33}=1\cdot1 + (-1)\cdot0 + 0\cdot1 = 1+0+0 = 1.
Logo a matriz produto é
M = [I]_{\beta}^{\gamma}\,[I]_{\gamma}^{\alpha} = \left[\begin{array}{ccc} 5 & 1 & 2 \\[4pt] 6 & 2 & 2 \\[4pt] 3 & -1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora aplicamos M ao vetor [v]_{\alpha}:
[v]_{\beta} = M\,[v]_{\alpha} = \left[\begin{array}{ccc} 5 & 1 & 2 \\[4pt] 6 & 2 & 2 \\[4pt] 3 & -1 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{r}2\\[4pt]3\\[4pt]-1\end{array}\right].
Calculamos cada componente do produto (novamente usando a soma dos produtos da linha pela coluna):
  • Primeira componente:
5\cdot2 + 1\cdot3 + 2\cdot(-1) = 10 + 3 - 2 = 11.
  • Segunda componente:
6\cdot2 + 2\cdot3 + 2\cdot(-1) = 12 + 6 - 2 = 16.
  • Terceira componente:
3\cdot2 + (-1)\cdot3 + 1\cdot(-1) = 6 - 3 - 1 = 2.
Portanto o vetor obtido (em coordenadas de \beta) é
\left[\begin{array}{r}11\\[4pt]16\\[4pt]2\end{array}\right].]

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): primeiro calcular [v]_{\gamma}=[I]_{\gamma}^{\alpha}[v]_{\alpha} e depois [v]_{\beta}=[I]_{\beta}^{\gamma}[v]_{\gamma}. Fazendo isso passo a passo obtém-se o mesmo resultado \left[\begin{smallmatrix}11\\\ 16\\\ 2\end{smallmatrix}\right), confirmando que a composição e a ordem dos produtos estão corretas.

Resposta

\displaystyle [v]_{\beta}=\left[\begin{array}{r}11\\[4pt]16\\[4pt]2\end{array}\right]]

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