Explicação curta e didática: composição de aplicações lineares corresponde ao produto das matrizes que as representam; aqui aplicamos primeiro a transformação de \alpha para \gamma e depois de \gamma para \beta, por isso os fatores aparecem nessa ordem.
Passo 3
Vamos então calcular primeiro a matriz produto
M = [I]_{\beta}^{\gamma}\,[I]_{\gamma}^{\alpha}.
Seja A=[I]_{\beta}^{\gamma} e B=[I]_{\gamma}^{\alpha}. A regra de multiplicação de matrizes é
m_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,b_{kj},
ou seja, cada elemento m_{ij} é a soma dos produtos da linha i de A com a coluna j de B.
Agora calculamos linha a linha.
Linha 1 de A é [1\\\ 0\\\ 1].
Coluna 1 de B é \displaystyle\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix}. Então
m_{11}=1\cdot3 + 0\cdot0 + 1\cdot2 = 3+0+2 = 5.
Coluna 2 de B é \displaystyle\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}. Então
m_{12}=1\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot1 = 0+0+1 = 1.
Coluna 3 de B é \displaystyle\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}. Então
Verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): primeiro calcular [v]_{\gamma}=[I]_{\gamma}^{\alpha}[v]_{\alpha} e depois [v]_{\beta}=[I]_{\beta}^{\gamma}[v]_{\gamma}. Fazendo isso passo a passo obtém-se o mesmo resultado \left[\begin{smallmatrix}11\\\ 16\\\ 2\end{smallmatrix}\right), confirmando que a composição e a ordem dos produtos estão corretas.