Em cada item, encontre o vetor v \in V, com as informações dadas:
v]_{\alpha}=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 3 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 5\end{array}\right] onde \alpha=\left\{E_{11}-E_{12}, E_{12}, E_{21}-E_{12}, E_{22}, E_{31}-E_{22}, E_{32}-E_{22}\right\} em V=M_{3 \times 2}(\mathbb{R});

Passo 1

O enunciado dá:
  • O vetor de coordenadas de v na base \alpha é
[v]_{\alpha}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]3\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]2\\[2pt]5\end{pmatrix}.
  • A base \alpha de V=M_{3\times2}(\mathbb{R}) é
\alpha=\{\,E_{11}-E_{12},\;E_{12},\;E_{21}-E_{12},\;E_{22},\;E_{31}-E_{22},\;E_{32}-E_{22}\,\}.
Aqui E_{ij} é a matriz canônica com 1 na posição (i,j) e 0 nas outras posições.
O que se pede: encontrar a matriz v\in M_{3\times2}(\mathbb{R}) cujo vetor de coordenadas em relação à base \alpha é o dado acima.]

Passo 2

Entender o significado de coordenadas: se \alpha=(a_1,\dots,a_6) é uma base e [v]_{\alpha}=(c_1,\dots,c_6)^T, então
v = c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3 + c_4 a_4 + c_5 a_5 + c_6 a_6.
Aplicando isso ao nosso caso, cada c_i multiplica o elemento correspondente da base \alpha. Vou usar essa regra direta para reconstruir v.

Passo 3

Substituindo os componentes da base e os escalares, temos:
\begin{aligned} v &= 2\,(E_{11}-E_{12}) + 3\,E_{12} + (-1)\,(E_{21}-E_{12}) + 1\cdot E_{22} \\\ &\qquad + 2\,(E_{31}-E_{22}) + 5\,(E_{32}-E_{22}). \end{aligned}

Passo 4

Agora expandir e agrupar os termos por cada E_{ij}. Vou somar coeficientes de cada E_{ij}:
  • Coeficiente de E_{11}: só aparece em 2(E_{11}-E_{12}), logo é 2. Assim v_{11}=2.
  • Coeficiente de E_{12}: aparece em três lugares:
    -2\\ (\text{de }2\cdot(-E_{12}))\;+\;3\\ (\text{de }3E_{12})\;+\;(+1)\\ (\text{de }-1\cdot(-E_{12})).
    Somando: -2+3+1=2. Assim v_{12}=2.
  • Coeficiente de E_{21}: só aparece em -1\cdot(E_{21}-E_{12}), dando -1. Assim v_{21}=-1.
  • Coeficiente de E_{22}: aparece em +1\cdot E_{22} e em dois termos negativos:
    +1\;+\;2\cdot(-1)\;+\;5\cdot(-1)=1-2-5=-6.
    Assim v_{22}=-6.
  • Coeficiente de E_{31}: aparece em 2\,(E_{31}-E_{22}), então é 2. Assim v_{31}=2.
  • Coeficiente de E_{32}: aparece em 5\,(E_{32}-E_{22}), então é 5. Assim v_{32}=5.
Dica rápida para prova: cada E_{ij} corresponde exatamente a uma entrada da matriz; basta somar os coeficientes que multiplicam aquele E_{ij}.

Passo 5

Montando a matriz com as entradas encontradas (linha i, coluna j = v_{ij}), obtemos
v=\begin{pmatrix} 2 & 2\\[4pt] -1 & -6\\[4pt] 2 & 5 \end{pmatrix}.]

Resposta

v=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]-1 & -6\\[4pt]2 & 5\end{pmatrix}]

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