Em cada item estude a existência de máximos e mínimos globais da função.
f: \mathbb{R} \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^{3}}{x-1}.

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos existência de máximos e mínimos globais de
f\colon \mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R},\quad f(x)=\frac{x^3}{x-1}.
Como o domínio se quebra em dois intervalos (-\infty,1) e (1,\infty), vamos analisar cada um separadamente usando derivadas para monotonicidade e limites nos extremos.

Passo 2

Calculemos a derivada de f para achar pontos críticos e ver sinal de monotonicidade.
Em (-\infty,1)\cup(1,\infty) temos
f'(x) =\frac{(3x^2)(x-1)-x^3\cdot1}{(x-1)^2} =\frac{3x^3-3x^2-x^3}{(x-1)^2} =\frac{2x^3-3x^2}{(x-1)^2} =\frac{x^2(2x-3)}{(x-1)^2}.
Os zeros de f' são x=0 (multiplicidade 2) e x=3/2. O denominador é sempre positivo (exceto em x=1, fora do domínio), então o sinal de f' é dado por x^2(2x-3):
  • Para x<3/2, 2x-3<0, logo f'(x)<0.
  • Para x>3/2, 2x-3>0, logo f'(x)>0.
Isso implica: em todo o intervalo x<1 (pois 1<3/2), f'<0, ou seja, f é estritamente decrescente em (-\infty,1). Em (1,3/2) também f'<0 e em (3/2,\infty) tem f'>0, logo f decresce até x=3/2 e cresce depois.

Passo 3

Analisemos (-\infty,1).
Como f é estritamente decrescente, seu maior valor seria o limite em x\to-\infty e o menor, o limite em x\to1^-.
Calculemos:
\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{x-1} =\lim_{x\to-\infty}x^2\frac{x}{x-1} =+\infty,
\lim_{x\to1^-}\frac{x^3}{x-1} =\frac{1}{0^-}=-\infty.
Assim f em (-\infty,1) não atinge nem máximo nem mínimo globais (é decrescente mas não é limitado nos extremos).

Passo 4

Analisemos (1,\infty).
Em x\to1^+
\lim_{x\to1^+}\frac{x^3}{x-1} =\frac{1}{0^+}=+\infty,
e em x\to+\infty
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{x-1}=+\infty.
Como vimos, f decresce em (1,3/2) até um ponto crítico em x=3/2 e depois cresce em (3/2,\infty). Logo em x=3/2 ocorre um mínimo local que, pelos limites infinitos nos dois lados, é na verdade mínimo global em (1,\infty). Avaliando
f\bigl(\tfrac32\bigr) =\frac{\bigl(\tfrac32\bigr)^3}{\tfrac32-1} =\frac{\tfrac{27}{8}}{\tfrac12} =\frac{27}{4}.
Não há máximo global em (1,\infty) porque f\to+\infty nos extremos.

Resposta

Em (-\infty,1) não existe máximo nem mínimo global.
Em (1,\infty) não existe máximo global e existe mínimo global em x=\tfrac32 com valor f(\tfrac32)=\tfrac{27}{4}.

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