Em cada item estude a existência de máximos e mínimos globais da função.
.
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos existência de máximos e mínimos globais de
Como o domínio se quebra em dois intervalos
e
, vamos analisar cada um separadamente usando derivadas para monotonicidade e limites nos extremos.
Passo 2
Calculemos a derivada de
para achar pontos críticos e ver sinal de monotonicidade.
Em temos
Em
Os zeros de
são
(multiplicidade 2) e
. O denominador é sempre positivo (exceto em
, fora do domínio), então o sinal de
é dado por
:
- Para
, , logo . - Para
, , logo .
Isso implica: em todo o intervalo
(pois
),
, ou seja,
é estritamente decrescente em
. Em
também
e em
tem
, logo
decresce até
e cresce depois.
Passo 3
Analisemos
.
Como é estritamente decrescente, seu maior valor seria o limite em
e o menor, o limite em
.
Calculemos:
Como
Calculemos:
Assim
em
não atinge nem máximo nem mínimo globais (é decrescente mas não é limitado nos extremos).
Passo 4
Analisemos
.
Em
Em
e em
Como vimos,
decresce em
até um ponto crítico em
e depois cresce em
. Logo em
ocorre um mínimo local que, pelos limites infinitos nos dois lados, é na verdade mínimo global em
. Avaliando
Não há máximo global em
porque
nos extremos.
Resposta
Em
não existe máximo nem mínimo global.
Em não existe máximo global e existe mínimo global em
com valor
.
Em