Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
O triângulo com vértices (1,1),(1,2) e (2,2) em torno:
i) do eixo x
ii) do eixo y
iii) da reta x=10 / 3
iv) da reta y=1.

Passo 1

Resumo do enunciado: a região R é o triângulo com vértices (1,1), (1,2) e (2,2). Vamos precisar de volume de sólidos de revolução, aplicando o método dos discos/arruelas (quando o eixo é horizontal e as fatias são verticais) ou o método das cascas cilíndricas (quando o eixo é vertical e as fatias são verticais, ou eixo horizontal com fatias horizontais).

Passo 2

Descrição analítica de R: para x variando de 1 a 2, o ponto (x,y) está entre a reta inferior y = x e a reta superior y = 2. Em fórmulas:
1 <= x <= 2, x <= y <= 2

Passo 3

(i) Rotacionando em torno do eixo x.
Aqui usamos o método das arruelas: para cada xin[1,2], a seção é uma arruela de raio externo Rrm ext=2 e raio interno Rrm int=x.
Vi =piintegral1^2l(Rrm ext^2 - Rrm int^2r),dx =piintegral1^2l(4 - x^2r),dx =pil[4x - tfracx^33r]1^2 =5pi3

Passo 4

(ii) Rotacionando em torno do eixo y.
Aqui usamos cascas cilíndricas verticais: para cada xin[1,2], a casca tem raio x e altura h=2-x.
Vii =2piintegral1^2x,(2-x),dx =2piintegral1^2(2x - x^2),dx =2pil[x^2 - tfracx^33r]1^2 =4pi3

Passo 5

(iii) Rotacionando em torno da reta x=tfrac103.
Também usamos cascas verticais: para xin[1,2], a casca tem raio r=tfrac103-x e altura h=2-x.
Viii =2piintegral1^2l(tfrac103-xr),(2-x),dx =2piintegral1^2l(tfrac203-tfrac163x + x^2r)dx =2picdot1 =2pi

Passo 6

(iv) Rotacionando em torno da reta y=1.
Agora usamos cascas horizontais: para cada yin[1,2], a casca tem raio r=y-1 e comprimento (comprimento da fatia) L=y-1.
Viv =2piintegral1^2(y-1),(y-1),dy =2piintegral1^2(y-1)^2,dy =2pil[tfrac(y-1)^33r]1^2 =2pi3

Resposta

(i) 5pi3
(ii) 4pi3
(iii) 2pi
(iv) 2pi3

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