Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
O triângulo com vértices
e
em torno:
i) do eixo
ii) do eixo
iii) da reta
iv) da reta
.
O triângulo com vértices
i) do eixo
ii) do eixo
iii) da reta
iv) da reta
Passo 1
Resumo do enunciado: a região
é o triângulo com vértices
,
e
. Vamos precisar de volume de sólidos de revolução, aplicando o método dos discos/arruelas (quando o eixo é horizontal e as fatias são verticais) ou o método das cascas cilíndricas (quando o eixo é vertical e as fatias são verticais, ou eixo horizontal com fatias horizontais).
Passo 2
Descrição analítica de
: para
variando de
a
, o ponto
está entre a reta inferior
e a reta superior
. Em fórmulas:
Passo 3
(i) Rotacionando em torno do eixo
.
Aqui usamos o método das arruelas: para cada , a seção é uma arruela de raio externo
e raio interno
.
Aqui usamos o método das arruelas: para cada
Passo 4
(ii) Rotacionando em torno do eixo
.
Aqui usamos cascas cilíndricas verticais: para cada , a casca tem raio
e altura
.
Aqui usamos cascas cilíndricas verticais: para cada
Passo 5
(iii) Rotacionando em torno da reta
.
Também usamos cascas verticais: para , a casca tem raio
e altura
.
Também usamos cascas verticais: para
Passo 6
(iv) Rotacionando em torno da reta
.
Agora usamos cascas horizontais: para cada , a casca tem raio
e comprimento (comprimento da fatia)
.
Agora usamos cascas horizontais: para cada
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(ii)
(iii)
(iv)