Para cada item a seguir, calcule rot overrightarrow{\mathbf{F}}.
\vec{F}(x, y, z)=y^{2} z \vec{i}+x^{2} z \vec{j}+e^{y} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional da campo de vetores \vec{F}(x,y,z)=y^{2}z\,\vec{i}+x^{2}z\,\vec{j}+e^{y}\,\vec{k}.
Este é um exercício de cálculo vetorial: vamos usar derivadas parciais e a fórmula do rotacional.

Passo 2

Lembrando a definição de rotacional:
\nabla \times \vec{F} =\Bigl(\tfrac{\partial R}{\partial y}-\tfrac{\partial Q}{\partial z}\Bigr)\vec{i} +\Bigl(\tfrac{\partial P}{\partial z}-\tfrac{\partial R}{\partial x}\Bigr)\vec{j} +\Bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\vec{k},
onde P=y^{2}z, Q=x^{2}z e R=e^{y}.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
\tfrac{\partial R}{\partial y}=e^{y},\quad \tfrac{\partial Q}{\partial z}=x^{2},
\tfrac{\partial P}{\partial z}=y^{2},\quad \tfrac{\partial R}{\partial x}=0,
\tfrac{\partial Q}{\partial x}=2xz,\quad \tfrac{\partial P}{\partial y}=2yz.

Passo 4

Substituindo na fórmula do rotacional:
\nabla \times \vec{F} =(e^{y}-x^{2})\,\vec{i}+(y^{2}-0)\,\vec{j}+(2xz-2yz)\,\vec{k} =(e^{y}-x^{2})\,\vec{i}+y^{2}\,\vec{j}+2z(x-y)\,\vec{k}.

Resposta

\mathrm{rot}\,\vec{F}(x,y,z)=(e^{y}-x^{2})\,\vec{i}+y^{2}\,\vec{j}+2z(x-y)\,\vec{k}.

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