Para cada item a seguir, calcule rot overrightarrow{\mathbf{F}}.
\vec{F}(x, y, z)=\sin (y) \vec{i}+x z \vec{j}+y^{2} z \vec{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z) = \sin(y)\,\vec{i} + x z\,\vec{j} + y^2 z\,\vec{k}.
Queremos calcular o rotacional, também chamado de curl, dado por \nabla \times \vec{F}. Em coordenadas cartesianas, esse operador combina derivadas parciais das componentes de \vec{F} para medir a “rotação local” do campo.

Passo 2

Lembrando a fórmula em forma explícita, se P=\sin(y), Q=xz e R=y^2 z, então
\nabla \times \vec{F} = \bigl(\partial_y R - \partial_z Q\bigr)\,\vec{i} + \bigl(\partial_z P - \partial_x R\bigr)\,\vec{j} + \bigl(\partial_x Q - \partial_y P\bigr)\,\vec{k}.
Basta calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Componente \vec{i}:
\partial_y R = \partial_y\bigl(y^2 z\bigr) = 2y z,
\partial_z Q = \partial_z\bigl(xz\bigr) = x,
portanto
\partial_y R - \partial_z Q = 2y z - x.

Passo 4

Componente \vec{j}:
\partial_z P = \partial_z\bigl(\sin(y)\bigr) = 0,
\partial_x R = \partial_x\bigl(y^2 z\bigr) = 0,
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\partial_z P - \partial_x R = 0 - 0 = 0.

Passo 5

Componente \vec{k}:
\partial_x Q = \partial_x\bigl(xz\bigr) = z,
\partial_y P = \partial_y\bigl(\sin(y)\bigr) = \cos(y),
assim
\partial_x Q - \partial_y P = z - \cos(y).

Passo 6

Reunindo tudo, obtemos
\nabla \times \vec{F} = (2y z - x)\,\vec{i} + 0\,\vec{j} + (z - \cos(y))\,\vec{k}.

Resposta

\nabla \times \vec{F} = (2yz - x)\,\vec{i} + 0\,\vec{j} + \bigl(z - \cos(y)\bigr)\,\vec{k}.

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