Em cada item a seguir, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos ( de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
\frac{d y}{d t}=y^{2}\left(4-y^{2}\right), \quad-\infty<y_{0}<\infty;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma
\frac{dy}{dt}=y^{2}(4-y^{2}),
e pede:
– esboçar o gráfico de f(y)=y^{2}(4-y^{2}) em função de y;
– achar os pontos críticos (equilíbrios), isto é, valores de y tais que f(y)=0;
– classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável, instável ou semiestável, usando análise do sinal de f(y) ou de f'(y);
– desenhar a reta de fase;
– esboçar vários gráficos de soluções y(t) no plano (t,y).
Para isso vamos usar a teoria de equações autônomas: pontos de equilíbrio satisfazem f(y)=0 e a estabilidade vem do sinal de f à esquerda e à direita de cada equilíbrio (ou de f'(y) quando for simples).

Passo 2

Escrevemos
f(y)=y^{2}(4-y^{2})=y^{2}(2-y)(2+y).
Os zeros ocorrem quando
y^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad y=0, \qquad 4-y^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad y=\pm2.
No plano y versus f(y), temos três raízes: -2,0,2. Entre elas e além delas, o sinal de f será determinado pelo produto dos três fatores.

Passo 3

Analisando o sinal de f(y) em cada intervalo:
– Para y<-2, tanto y^{2}>0 quanto 4-y^{2}<0, então f(y)<0.
– Para -2<y<0, temos y^{2}>0 e 4-y^{2}>0, logo f(y)>0.
– Para 0<y<2, de novo y^{2}>0 e 4-y^{2}>0, logo f(y)>0.
– Para y>2, y^{2}>0 e 4-y^{2}<0, logo f(y)<0.
Com isso a reta de fase fica:
– Em (-\infty,-2) as setas apontam para a esquerda.
– Em (-2,0) apontam para a direita.
– Em (0,2) apontam para a direita.
– Em (2,\infty) apontam para a esquerda.
Daí classificamos cada ponto:
y=-2: em ambos os lados as setas apontam para longe de -2, então é ponto de equilíbrio instável.
y=0: à esquerda as setas apontam para a direita (movem-se em direção a 0), à direita apontam para a direita (movem-se para longe de 0), logo é semiestável.
y=2: em ambos os lados as setas convergem para 2, é assintoticamente estável.

Passo 4

A reta de fase (eixo vertical é y) fica assim, com pontos preenchidos em -2,0,2 e setas:
\underbrace{\longleftarrow}_{y<-2}\quad \bullet\,(-2)\quad \underbrace{\longrightarrow}_{-2<y<0}\quad \bullet\,(0)\quad \underbrace{\longrightarrow}_{0<y<2}\quad \bullet\,(2)\quad \underbrace{\longleftarrow}_{y>2}

Passo 5

No plano (t,y), as soluções típicas são:
– Para condição inicial y_{0}>2, y(t) decresce em direção a 2 quando t\to\infty.
– Para 0<y_{0}<2, y(t) cresce em direção a 2.
– Para -2<y_{0}<0, y(t) cresce até cruzar 0 (já que 0 é semiestável) e continua crescendo até aproximar-se de 2.
– Para y_{0}<-2, y(t) decresce sem limite (vai a -\infty em tempo finito).
– As soluções constantes y(t)\equiv -2,\,0,\,2 correspondem aos equilíbrios.

Resposta

Equilíbrios e classificações:
y=-2:\\ \text{instável},\quad y=0:\\ \text{semiestável},\quad y=2:\\ \text{assintoticamente estável}.ááá

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