Em cada item a seguir, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos ( de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
;
Passo 1
O enunciado pede para analisar a equação diferencial autônoma
e então:
– Esboçar o gráfico de em função de
.
– Encontrar os pontos críticos (equilíbrios), ou seja, as raízes de .
– Classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável, instável ou semiestável.
– Desenhar a reta de fase (linha de setas indicando o sinal de ).
– Esboçar algumas soluções no plano
;–;
.
– Esboçar o gráfico de
– Encontrar os pontos críticos (equilíbrios), ou seja, as raízes de
– Classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável, instável ou semiestável.
– Desenhar a reta de fase (linha de setas indicando o sinal de
– Esboçar algumas soluções
Para isso, precisamos:
- Determinar as raízes de
. - Estudar o sinal de
em cada intervalo entre as raízes. - Usar a derivada
ou o diagrama de sinal para classificar a estabilidade. - Desenhar a reta de fase e traçar soluções qualitativas.
Passo 2
Encontramos as raízes de
resolvendo
No gráfico de
versus
:
– Em , temos uma raiz de multiplicidade 2 (o gráfico toca o eixo tangencialmente).
– Em , cruzamentos simples com o eixo.
– Em
– Em
Passo 3
Estudamos o sinal de
em cada intervalo:
Intervalos e sinal de :
Intervalos e sinal de
- Para
, e , logo . - Para
, mas (exceto em zero), logo para .
Tabela de sinais:
\quad
\quad
\quad
.
Classificação dos equilíbrios:
-
Em
:
– À esquerda, seta para a direita (acima de leva de volta a ).
– À direita, seta para a esquerda (abaixo de leva de volta a ).
→ Setas convergem em: estável. -
Em
(raiz dupla):
– Parapequeno, seta para a esquerda (movendo-se em direção a ).
– Parapequeno, seta para a esquerda (afasta-se de em direção a ).
→ De um lado chega, do outro sai: semiestável. -
Em
:
– Parapouco, seta para a esquerda (afasta-se de ).
– Parapouco, seta para a direita (afasta-se de ).
→ Setas divergem de: instável.
Passo 4
Reta de fase (linha vertical em
) com setas:
:
\quad
: ponto instável
:
\quad
: ponto semiestável
:
\quad
: ponto estável
:
Passo 5
Esboço de soluções
em função de
:
- Se
, cresce cada vez mais . - Se
, decresce até quando . - Se
, decresce até . - Se
, cresce (movendo-se para a direita na reta de fase) e tende a conforme .
Resposta
Pontos de equilíbrio:
(estável),
(semiestável),
(instável).