- A equação diferencial da forma
é conhecida como Equação de Clairaut.
(a) Mostre que uma solução para a Equação de Clairaut é da forma
, em que
é uma constante arbitrária.
(b) Resolva a EDO
.
(a) Mostre que uma solução para a Equação de Clairaut é da forma
(b) Resolva a EDO
Passo 1
O enunciado trata da Equação de Clairaut, de forma
e pede:
– (a) mostrar que uma família de soluções gerais é
– (a) mostrar que uma família de soluções gerais é
com
constante;
– (b) aplicar esse resultado à EDO
– (b) aplicar esse resultado à EDO
Vamos usar a troca
, diferenciar em
e examinar os casos gerados.
Passo 2
Defina
Então a equação fica
Diferenciando ambos os lados em relação a
, usando regra do produto e regra da cadeia, obtemos
Cancelando
de ambos os lados resulta
Passo 3
Da equação
surgem dois casos:
-
, isto é, constante. Substituindo em vem
que é a solução geral da Clairaut.
2. , que dá a solução singular (envelope da família).
2.
Até aqui mostramos a parte (a): toda solução geral de Clairaut é
.
Passo 4
Agora em
temos
, logo
A condição
vira
– Caso
:
. Então
é a solução geral.
– Caso :
. Substituindo em
dá
– Caso
que é a solução singular.
Resposta
(a) A família geral de soluções da Equação de Clairaut é
(b) Para
:
– solução geral: ;
– solução singular: .
– solução geral:
– solução singular: