Em cada item a seguir, esboce os gráficos das funções dadas no mesmo sistema de coordenadas.
e
;
Passo 1
O enunciado pede que esbocemos, no mesmo sistema de coordenadas, as duas funções exponenciais
e
O conteúdo da matéria é o estudo de funções do tipo
: identificar domínio, imagem, intercepto com o eixo
, assíntota horizontal, monotonicidade e comparar taxas de crescimento.
Passo 2
Analisando
:
– Domínio: .
– Imagem: .
– Intercepto com o eixo :
.
– Assíntota horizontal: , pois
.
– Monotonicidade: estritamente crescente em todo .
– Comportamento: .
– Domínio:
– Imagem:
– Intercepto com o eixo
– Assíntota horizontal:
– Monotonicidade: estritamente crescente em todo
– Comportamento:
Passo 3
Analisando
:
– Domínio: .
– Imagem: .
– Intercepto com o eixo :
.
– Assíntota horizontal: , pois
.
– Monotonicidade: estritamente crescente em todo .
– Comportamento: .
– Domínio:
– Imagem:
– Intercepto com o eixo
– Assíntota horizontal:
– Monotonicidade: estritamente crescente em todo
– Comportamento:
Passo 4
Comparando as duas curvas:
– Ambas passam pelo ponto .
– Como , a função
cresce mais rápido que
.
– Para ,
; para
,
.
– As duas têm a mesma assíntota à esquerda, mas
se afasta de
mais rapidamente quando
cresce.
– Ambas passam pelo ponto
– Como
– Para
– As duas têm a mesma assíntota
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico no mesmo sistema:
– Trace primeiro a assíntota horizontal .
– Marque o ponto comum .
– Desenhe a curva de , subindo suavemente a partir de
e passando em
.
– Em seguida, desenhe a curva de , que parte também de perto de
para
muito negativo, passa em
e sobe mais inclinada que
.
– Identifique em um trecho que
e
, mostrando
.
– Trace primeiro a assíntota horizontal
– Marque o ponto comum
– Desenhe a curva de
– Em seguida, desenhe a curva de
– Identifique em um trecho
Resposta
O esboço mostra duas curvas crescentes que se aproximam de
quando
, passam ambas por
e divergem para
conforme
, sendo a de
mais íngreme que a de
.