Em cada item a seguir, esboce os gráficos das funções dadas no mesmo sistema de coordenadas.
f(x)=e^{x} e g(x)=3^{x};

Passo 1

O enunciado pede que esbocemos, no mesmo sistema de coordenadas, as duas funções exponenciais
f(x)=e^{x}
e
g(x)=3^{x}.
O conteúdo da matéria é o estudo de funções do tipo a^{x}: identificar domínio, imagem, intercepto com o eixo y, assíntota horizontal, monotonicidade e comparar taxas de crescimento.

Passo 2

Analisando f(x)=e^{x}:
– Domínio: \mathbb{R}.
– Imagem: (0,\infty).
– Intercepto com o eixo y: f(0)=e^{0}=1.
– Assíntota horizontal: y=0, pois \lim_{x\to-\infty}e^{x}=0.
– Monotonicidade: estritamente crescente em todo \mathbb{R}.
– Comportamento: \lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty.

Passo 3

Analisando g(x)=3^{x}:
– Domínio: \mathbb{R}.
– Imagem: (0,\infty).
– Intercepto com o eixo y: g(0)=3^{0}=1.
– Assíntota horizontal: y=0, pois \lim_{x\to-\infty}3^{x}=0.
– Monotonicidade: estritamente crescente em todo \mathbb{R}.
– Comportamento: \lim_{x\to+\infty}3^{x}=+\infty.

Passo 4

Comparando as duas curvas:
– Ambas passam pelo ponto (0,1).
– Como 3>e, a função g(x)=3^{x} cresce mais rápido que f(x)=e^{x}.
– Para x>0, 3^{x}>e^{x}; para x<0, 3^{x}<e^{x}.
– As duas têm a mesma assíntota y=0 à esquerda, mas g se afasta de y=0 mais rapidamente quando x cresce.

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico no mesmo sistema:
– Trace primeiro a assíntota horizontal y=0.
– Marque o ponto comum (0,1).
– Desenhe a curva de f(x)=e^{x}, subindo suavemente a partir de y=0 e passando em (0,1).
– Em seguida, desenhe a curva de g(x)=3^{x}, que parte também de perto de y=0 para x muito negativo, passa em (0,1) e sobe mais inclinada que e^{x}.
– Identifique em um trecho x=1 que e^{1}=2{,}718\dots e 3^{1}=3, mostrando g(1)>f(1).

Resposta

O esboço mostra duas curvas crescentes que se aproximam de y=0 quando x\to-\infty, passam ambas por (0,1) e divergem para +\infty conforme x\to+\infty, sendo a de g(x)=3^{x} mais íngreme que a de f(x)=e^{x}.

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