Em cada item a seguir, esboce os gráficos das funções dadas no mesmo sistema de coordenadas.
f(x)=\left(\frac{1}{e}\right)^{x} e g(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x};

Passo 1

O enunciado pede para esboçar, no mesmo sistema de coordenadas, duas funções exponenciais decrescentes:
f(x)=\Bigl(\frac{1}{e}\Bigr)^{x}=e^{-x} \quad\text{e}\quad g(x)=\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{x}=3^{-x}.
O conteúdo é o estudo de funções da forma a^x com 0<a<1, que são sempre decrescentes e têm assíntota horizontal em y=0.

Passo 2

Para qualquer função h(x)=a^x com 0<a<1 sabemos que:
  1. O gráfico intercepta o eixo y em (0,1), pois h(0)=a^0=1.
  2. À medida que x\to+\infty, h(x)\to0^+: assíntota em y=0.
  3. À medida que x\to-\infty, h(x)\to+\infty.
  4. A curva é estritamente decrescente e suave.

Passo 3

Calculemos alguns pontos chave para cada função:
Para f(x)=e^{-x}:
f(0)=1,\quad f(1)=e^{-1}=\frac{1}{e}\approx0{,}37,\quad f(-1)=e^{1}=e\approx2{,}72.
Para g(x)=3^{-x}:
g(0)=1,\quad g(1)=3^{-1}=\frac{1}{3}\approx0{,}33,\quad g(-1)=3^{1}=3.

Passo 4

Compare o “steepness” (declividade) das curvas:
  1. Ambas passam em (0,1) e têm a mesma assíntota y=0.
  2. Para x>0, como \ln3>\!1, temos g(x)=e^{-x\ln3} decrescendo mais rápido que f(x)=e^{-x}. Logo, para x>0,
g(x)<f(x).
  1. Para x<0, ambas crescem, mas g(-1)=3>e=f(-1), logo para x<0,
g(x)>f(x).
Assim, ao esboçar:
– Desenhe os eixos x e y e trace a assíntota horizontal y=0.
– Marque (0,1), (1,1/e), (1,1/3), (-1,e), (-1,3).
– Una esses pontos com duas curvas suaves e decrescentes, fazendo com que a curva de g seja mais “íngreme” que a de f.

Resposta

No mesmo sistema de coordenadas:
– Gráfico de f(x)=e^{-x}: curva decrescente passando por (0,1), (1,1/e), (-1,e), com assíntota y=0.
– Gráfico de g(x)=3^{-x}: curva decrescente também passando por (0,1), (1,1/3), (-1,3), assíntota y=0, mas decaindo mais rápido que f.

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