Suponha que \operatorname{arcsen} x=\frac{1}{4}. Determine o valore de:
\operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado diz que
\arcsin\bigl(\tfrac14\bigr)=x,
ou seja, estamos no conteúdo de relações entre função trigonométrica inversa e funções diretas. Para resolver, vamos usar a definição de arco‐seno e a identidade pitagórica para depois obter a tangente.

Passo 2

Da definição de arco‐seno temos
\sin x = \tfrac14.

Passo 3

Usando a identidade pitagórica
\cos^2 x + \sin^2 x = 1
segue
\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - \bigl(\tfrac14\bigr)^2} = \sqrt{\tfrac{15}{16}} = \tfrac{\sqrt{15}}{4}.

Passo 4

Como \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}, substituindo os valores:
\tan x = \frac{\tfrac14}{\tfrac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}.

Resposta

\tan x = \frac{\sqrt{15}}{15}.

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