Para cada item a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área englobada.
h) x=10-y^{2} e x=y^{2}-8

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano limitada pelas duas curvas
x = 10 - y^{2}
e
x = y^{2} - 8.
O conteúdo é cálculo de área de uma região limitada por curvas, e aqui é mais fácil usar integração em relação a y, já que ambas as curvas estão dadas como funções x(y).

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de x:
10 - y^{2} \;=\; y^{2} - 8
\Rightarrow 10 + 8 \;=\; 2y^{2} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = 9 \quad\Longrightarrow\quad y = \pm 3.

Passo 3

No intervalo y\in[-3,3], comparamos os valores de x:
para cada y,
x_{\text{direita}} = 10 - y^{2}, \qquad x_{\text{esquerda}} = y^{2} - 8.
Por exemplo, em y=0 temos 10 e -8, logo 10 - y^{2} fica sempre à direita de y^{2}-8. A largura horizontal da região, para cada y, é
\Delta x = \bigl(10 - y^{2}\bigr) \;-\;\bigl(y^{2} - 8\bigr) = 18 - 2y^{2}.

Passo 4

A área A é dada pela integral dessa largura de y=-3 até y=3:
A = \int_{y=-3}^{3}\bigl[\,18 - 2y^{2}\bigr]\,dy.
Calculemos:
\int_{-3}^{3}18\,dy = 18\,(3 - (-3)) = 18\cdot6 = 108,
\int_{-3}^{3}2y^{2}\,dy =2\;\int_{-3}^{3}y^{2}\,dy =2\cdot\bigl[\,2\!\cdot\!\tfrac{3^{3}}{3}\bigr] =2\cdot18=36.
Logo
A = 108 - 36 = 72.

Resposta

A área da região é 72.

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