Para cada item a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área englobada.
g) y=x^{2}-2 e y=6-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada pelas curvas \,y=x^2-2 e \,y=6-x^2 e calcular sua área. O conteúdo é cálculo de área usando integração definida. Para resolver, vamos precisar achar os pontos de interseção dessas curvas e depois integrar a diferença entre as funções.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as expressões de y:
x^2 - 2 = 6 - x^2.
Dessa igualdade segue
2x^2 = 8 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 2.

Passo 3

As curvas são duas parábolas: \,y=x^2-2 é côncava para cima, deslocada para baixo em 2 unidades, e \,y=6-x^2 é côncava para baixo, deslocada para cima em 6 unidades. Elas se interceptam em x=-2 e x=2. A região limitada fica entre essas abscissas, com \,y=6-x^2 acima e \,y=x^2-2 abaixo.

Passo 4

A área A é dada pela integral da diferença entre a função superior e a inferior, de -2 a 2:
A = \int_{-2}^{2} \bigl[(6 - x^2) - (x^2 - 2)\bigr]\,dx = \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2)\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int (8 - 2x^2)\,dx = 8x - \frac{2x^3}{3}.
Avaliado de -2 a 2 temos
A = \Bigl[\,8x - \tfrac{2x^3}{3}\Bigr]_{-2}^{2} = \bigl(16 - \tfrac{16}{3}\bigr) - \bigl(-16 + \tfrac{16}{3}\bigr) = \frac{64}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{64}{3}

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