Em cada item a seguir, explique por que cada uma das equações abaixo é uma equação de variável separável. Em seguida, encontre a solução geral.
\left(x^{2}-y x^{2}\right) y^{\prime}+y^{2}+x y^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) explicar por que a equação dada é uma equação de variável separável; (2) encontrar a solução geral. A equação fornecida é
\left(x^{2}-y x^{2}\right) y^{\prime}+y^{2}+x y^{2}=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é uma função y(x) e y^{\prime} significa \dfrac{dy}{dx}.
  • A equação mistura termos em x e em y multiplicando y^{\prime} e termos sem derivada.
  • Não há outras condições iniciais ou valores numéricos; pede-se a solução geral.

Passo 2

Primeiro vamos manipular a equação para escrever y^{\prime} isoladamente e ver se conseguimos separar em fatores que dependem somente de x e somente de y.
Começo por factorar termos óbvios na equação original:
\left(x^{2}-y x^{2}\right) y^{\prime}+y^{2}+x y^{2}=0.
Fatorando x^{2} no primeiro parêntese e y^{2} no segundo:
x^{2}(1-y)\,y^{\prime}+y^{2}(1+x)=0.
Agora isolo y^{\prime}:
x^{2}(1-y)\,\dfrac{dy}{dx} = -y^{2}(1+x).
Desde já dá para ver o método: podemos passar todos os fatores em y para um lado e todos os fatores em x para o outro, ou seja é candidata a separável. Para isso vou dividir por x^{2}(1-y) (observando que isso exige x\neq0 e y\neq1 no processo de divisão; tratarei esses casos especiais depois):
\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y^{2}(1+x)}{x^{2}(1-y)}.

Passo 3

Agora efetuo a separação de variáveis: coloco os termos em y multiplicando dy e os de x multiplicando dx.
\dfrac{1-y}{y^{2}}\,dy = -\dfrac{1+x}{x^{2}}\,dx.
Explicando a ideia: separável significa que a equação pode ser escrita numa forma \Phi(y)\,dy = \Psi(x)\,dx. Aqui \Phi(y)=\dfrac{1-y}{y^{2}} e \Psi(x)=-\dfrac{1+x}{x^{2}}. A separação permite integrar cada lado em função da sua variável.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Vou explicar como integrar cada termo passo a passo, lembrando regras básicas:
  • \displaystyle\int y^{-2}\,dy = -y^{-1} + C.
  • \displaystyle\int y^{-1}\,dy = \ln|y| + C.
  • Mesma ideia para x.
Escrevendo a integral:
\int \dfrac{1-y}{y^{2}}\,dy = \int -\dfrac{1+x}{x^{2}}\,dx.
Separando os termos na integral da esquerda:
\int \left(\dfrac{1}{y^{2}} - \dfrac{1}{y}\right)\,dy = \int \dfrac{1}{y^{2}}\,dy - \int \dfrac{1}{y}\,dy.
Calculando cada uma:
\int \dfrac{1}{y^{2}}\,dy = \int y^{-2}\,dy = -\dfrac{1}{y}, \qquad \int \dfrac{1}{y}\,dy = \ln|y|.
Portanto a integral da esquerda é
-\dfrac{1}{y} - \ln|y|.
Agora a integral da direita:
\int -\left(\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}\right)\,dx = -\int x^{-2}\,dx - \int \dfrac{1}{x}\,dx.
Calculando:
\int x^{-2}\,dx = -\dfrac{1}{x}, \qquad \int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x|.
Então a integral da direita é
-\left(-\dfrac{1}{x}\right) - \ln|x| = \dfrac{1}{x} - \ln|x|.
Colocando as integrais iguais e somando a constante de integração C:
-\dfrac{1}{y} - \ln|y| = \dfrac{1}{x} - \ln|x| + C.

Passo 5

Agora simplifico um pouco a expressão para obter uma forma mais limpa da solução geral. Reagrupando termos com logaritmos:
-\dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x} + \ln|x| - \ln|y| = C.
Agrupando os logaritmos num só:
\ln\!\left|\dfrac{x}{y}\right| -\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right) = C.
Posso isolar o logaritmo:
\ln\!\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} + C.
Ou, exponenciando, obter uma forma equivalente sem logaritmo:
\left|\dfrac{x}{y}\right| = K \exp\!\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right),
onde K=e^{C}>0 é constante arbitrária. Como constante pode assumir sinal, podemos escrever sem o valor absoluto e com constante C_1\neq0:
\dfrac{x}{y} = C_{1}\,e^{\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{y}}.
Essa é a forma implícita/semiexplícita da solução geral obtida após separação e integração.

Passo 6

Tratamento de casos especiais (importante em separação de variáveis):
  • Ao dividir por y^{2} e por (1-y) e por x^{2} durante a separação nós implicitamente assumimos y\neq0, y\neq1 e x\neq0. É preciso checar se existem soluções constantes que foram perdidas por essas divisões.
  • Procuro soluções constantes y(x)\equiv c. Substituindo na equação original com y^{\prime}=0:
c^{2}+x c^{2}=c^{2}(1+x)=0.
Para que isso valha para todos os x do intervalo é necessário c^{2}=0, ou seja c=0. Então y\equiv0 é solução constante válida (ela não foi obtida quando dividimos por y^{2}). A solução y\equiv1 não funciona para todos os x (apenas satisfaz a equação em x=-1, não é solução global).
  • Sobre x=0: a separação exigiu x\neq0 para manipular x^{2}. A equação original em x=0 exige y^{2}=0, logo y(0)=0. Normalmente tratamos a solução geral em intervalos onde x\neq0 e consideramos continuidade/compatibilidade no ponto x=0 caso haja interesse em soluções que se estendam por 0.
Assim a família de soluções que encontramos implicitamente
\ln\!\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} + C
(ou \dfrac{x}{y}=C_{1}e^{1/x+1/y}) representa a solução geral para y\neq0, x\neq0, e a solução constante adicional é y\equiv0.

Resposta

\displaystyle \ln\!\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} + C
\displaystyle y\equiv0

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