Em cada item a seguir, explique por que cada uma das equações abaixo é uma equação de variável separável. Em seguida, encontre a solução geral.
y^{\prime}+y^{2}=x^{2} y^{2}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária
y^{\prime}+y^{2}=x^{2}y^{2},
e pede duas coisas: (i) explicar por que essa equação é de variável separável e (ii) encontrar a solução geral. Vou listar claramente o que temos:
  • A incógnita é y função de x.
  • A derivada é y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação relaciona y' com funções de x e de y.
    O objetivo imediato é transformar a equação numa forma \varphi(y)\,dy=\psi(x)\,dx para integrar ambos os lados.

Passo 2

Reescrevo a equação isolando y^{\prime}. Subtraindo y^{2} dos dois lados:
y^{\prime}=(x^{2}-1)\,y^{2}.
Agora explico por que isso é separável: uma equação é separável quando o lado direito pode ser escrito como produto de uma função que depende só de x por uma função que depende só de y. Aqui o lado direito é (x^{2}-1)\cdot y^{2}, ou seja, produto de (x^{2}-1) (só depende de x) e de y^{2} (só depende de y). Portanto é separável.

Passo 3

Para separar variables, trato y e x como variáveis distintas e procedo formalmente como numa equação de separação. Divido ambos os lados por y^{2} (a operação exige y\neq0; o caso y\equiv0 precisa ser tratado separadamente):
\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}=x^{2}-1.
Multiplicando por dx e reorganizando:
\frac{1}{y^{2}}\,dy=(x^{2}-1)\,dx.
Esta é exatamente a forma \varphi(y)\,dy=\psi(x)\,dx pronta para integrar.

Passo 4

Agora integro ambos os lados. Antes, uma pequena lição de cálculo: para n\neq -1 vale \displaystyle\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C. No nosso caso \frac{1}{y^{2}}=y^{-2} e assim
\int y^{-2}\,dy=\frac{y^{-1}}{-1}=-\frac{1}{y}+C_1.
No lado direito integra-se termo a termo:
\int (x^{2}-1)\,dx=\int x^{2}\,dx-\int 1\,dx=\frac{x^{3}}{3}-x + C_2.
Igualando as primitivadas (absorvendo constantes numa só constante C):
-\frac{1}{y}=\frac{x^{3}}{3}-x + C.

Passo 5

Agora resolvo para y. Inverso ambos os lados (novamente assumindo y\neq0):
\frac{1}{y}=-\left(\frac{x^{3}}{3}-x + C\right).
Portanto
y=-\frac{1}{\dfrac{x^{3}}{3}-x + C}.
É comum renomear a constante para simplificar o sinal; por exemplo, escrevendo C_1=-C obtém-se a forma alternativa equivalente
y=\frac{1}{-\dfrac{x^{3}}{3}+x + C_1}.
Ambas expressões representam a mesma família de soluções (para y\neq0).

Passo 6

Falta tratar o caso que foi excluído ao dividir por y^{2}: funções constantes que tornam a divisão inválida. Verifico se y\equiv0 é solução substituindo na equação original:
y' + y^{2}=0 + 0 = 0,\qquad x^{2}y^{2}=x^{2}\cdot0=0,
logo y\equiv0 satisfaz a equação. Portanto essa constante é também solução válida e deve ser incluída na família geral.
Também comento sobre domínio: cada solução da forma racional acima está definida nos x tais que o denominador \dfrac{x^{3}}{3}-x + C é diferente de zero; nessas singularidades a solução tem assíntotas verticais.

Resposta

y(x)=0
y(x)=-\dfrac{1}{\dfrac{x^{3}}{3}-x + C},\quad C\in\mathbb{R}

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