Em cada item a seguir, explique por que cada uma das equações abaixo é uma equação de variável separável. Em seguida, encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária
e pede duas coisas: (i) explicar por que essa equação é de variável separável e (ii) encontrar a solução geral. Vou listar claramente o que temos:
- A incógnita é
função de . - A derivada é
. - A equação relaciona
com funções de e de .
O objetivo imediato é transformar a equação numa formapara integrar ambos os lados.
Passo 2
Reescrevo a equação isolando
. Subtraindo
dos dois lados:
Agora explico por que isso é separável: uma equação é separável quando o lado direito pode ser escrito como produto de uma função que depende só de
por uma função que depende só de
. Aqui o lado direito é
, ou seja, produto de
(só depende de
) e de
(só depende de
). Portanto é separável.
Passo 3
Para separar variables, trato
e
como variáveis distintas e procedo formalmente como numa equação de separação. Divido ambos os lados por
(a operação exige
; o caso
precisa ser tratado separadamente):
Multiplicando por
e reorganizando:
Esta é exatamente a forma
pronta para integrar.
Passo 4
Agora integro ambos os lados. Antes, uma pequena lição de cálculo: para
vale
. No nosso caso
e assim
No lado direito integra-se termo a termo:
Igualando as primitivadas (absorvendo constantes numa só constante
):
Passo 5
Agora resolvo para
. Inverso ambos os lados (novamente assumindo
):
Portanto
É comum renomear a constante para simplificar o sinal; por exemplo, escrevendo
obtém-se a forma alternativa equivalente
Ambas expressões representam a mesma família de soluções (para
).
Passo 6
Falta tratar o caso que foi excluído ao dividir por
: funções constantes que tornam a divisão inválida. Verifico se
é solução substituindo na equação original:
logo
satisfaz a equação. Portanto essa constante é também solução válida e deve ser incluída na família geral.
Também comento sobre domínio: cada solução da forma racional acima está definida nos
tais que o denominador
é diferente de zero; nessas singularidades a solução tem assíntotas verticais.