Em cada item a seguir, faça o que se pede:
I. Determine uma base de .
II. Verifique se .
III. Verifique se a soma é direta.
a) e .
b) e .
c) e W=[(ll0 & 1 0 & 0)].
d) V=R^3, U=(x, y, z) in R^3 ; x-y=z e W=[(1,-1,-1)].
e) V=M2(R), U=[(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(rr0 & 0 -1 & 0)] e W=[(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 1)].
Passo 1
Estamos trabalhando com subespaços U e W de um espaço vetorial V. Em cada item precisamos: 1. Determinar uma base de U+W, isto é, do subespaço gerado por Ucup W. 2. Verificar se U+W=V comparando dimensões ou mostrando que todo vetor de V é combinação de vetores de U e W. 3. Verificar se a soma é direta, isto é, se Ucap W=0.
Passo 2
Lembretes teóricos:
Se dim U=p e dim W=q, então
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)
Uma base de U+W obtém-se juntando bases de U e de W e eliminando vetores linearmente dependentes.
A soma é direta (Uoplus W) se, e somente se, dim(Ucap W)=0.
Passo 3
Item (a): V= R^4,
U=(x,y,z,w):x+y=0,;w-z=0, W=(x,y,z,w):z=0,;w=0
Em U há duas equações lineares, logo dim U=2. Uma base é
u1=(1,-1,0,0), u2=(0,0,1,1)
Em W temos dim W=2 e base
w1=(1,0,0,0), w2=(0,1,0,0)
Juntando u1,u2,w1,w2 e eliminando dependências, sobra
,w1,w2,u2=(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1),
logo dim(U+W)=3<4, ou seja, U+Wneq V.
Para a interseção, um vetor em Ucap W é (x,y,0,0) com y=-x, dando dim(Ucap W)=1, logo a soma não é direta.
Passo 4
Item (b): ,
Em temos , logo e base . Em os dois geradores são independentes, então e base .
A união gera todos os polinômios de grau , então
logo . Como , a soma não é direta.
Passo 5
Item (c): V=M2(R),
U=spanl1&0-1&0, 0&1-1&0r, W=spanl0&10&0r
Temos dim U=2, dim W=1. A união dos três geradores é independente, logo dim(U+W)=3<4 e U+Wneq V. A intersecção só contém o zero, pois não há combinação de U que produza o gerador de W, então a soma é direta.
Passo 6
Item (d): ,
Em há uma equação linear, então e base, por exemplo, . Em , . A união dos vetores é independente, implicando , ou seja . Como , a soma é direta.
Passo 7
Item (e): ,
Temos , . Note que está em , mas não. Portanto a união dá , ou seja . Como , a soma não é direta.
Resposta
(a) Base de U+W: (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1). U+Wneq V. Soma não direta.
(b) Base de U+W: t^2,,t,,1. U+W=V. Soma não direta.
(c) Base de U+W: l1&0-1&0, 0&1-1&0, 0&10&0r. U+Wneq V. Soma direta.
(d) Base de U+W: (1,0,1),(0,1,-1),(1,-1,-1). U+W=V. Soma direta.
(e) Base de U+W: l1&00&0, 0&10&0, 0&0-1&0, 0&01&1r. U+W=V. Soma não direta.