Em cada item a seguir, faça o que se pede:
I. Determine uma base de U+W.
II. Verifique se V=U+W.
III. Verifique se a soma U+W é direta.
a) V=R^4, U=(x, y, z, w) in R^4 ; x+y=w-z=0 e W=(x, y, z, w) in R^4 ; z=0=w.
b) V=P2(R), U=x t^2+y t+z in P2(R) ; x-y=0 e W=[t^2-1, t+1].
c) V=M2(R), U=[(rr1 & 0 -1 & 0),(rr0 & 1 -1 & 0)] e W=[(ll0 & 1 0 & 0)].
d) V=R^3, U=(x, y, z) in R^3 ; x-y=z e W=[(1,-1,-1)].
e) V=M2(R), U=[(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(rr0 & 0 -1 & 0)] e W=[(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 1)].

Passo 1

Estamos trabalhando com subespaços U e W de um espaço vetorial V. Em cada item precisamos:
1. Determinar uma base de U+W, isto é, do subespaço gerado por Ucup W.
2. Verificar se U+W=V comparando dimensões ou mostrando que todo vetor de V é combinação de vetores de U e W.
3. Verificar se a soma é direta, isto é, se Ucap W=0.

Passo 2

Lembretes teóricos:
  • Se dim U=p e dim W=q, então
dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W)
  • Uma base de U+W obtém-se juntando bases de U e de W e eliminando vetores linearmente dependentes.
  • A soma é direta ( Uoplus W) se, e somente se, dim(Ucap W)=0.

Passo 3

Item (a):
V= R^4,
U=(x,y,z,w):x+y=0,;w-z=0, W=(x,y,z,w):z=0,;w=0
Em U há duas equações lineares, logo dim U=2. Uma base é
u1=(1,-1,0,0), u2=(0,0,1,1)
Em W temos dim W=2 e base
w1=(1,0,0,0), w2=(0,1,0,0)
Juntando u1,u2,w1,w2 e eliminando dependências, sobra
,w1,w2,u2=(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1),
logo dim(U+W)=3<4, ou seja, U+Wneq V.
Para a interseção, um vetor em Ucap W é (x,y,0,0) com y=-x, dando dim(Ucap W)=1, logo a soma não é direta.

Passo 4

Item (b):
,
Em temos , logo e base . Em os dois geradores são independentes, então e base .
A união gera todos os polinômios de grau , então
logo . Como , a soma não é direta.

Passo 5

Item (c):
V=M2(R),
U=spanl1&0-1&0, 0&1-1&0r, W=spanl0&10&0r
Temos dim U=2, dim W=1. A união dos três geradores é independente, logo dim(U+W)=3<4 e U+Wneq V. A intersecção só contém o zero, pois não há combinação de U que produza o gerador de W, então a soma é direta.

Passo 6

Item (d):
,
Em há uma equação linear, então e base, por exemplo, . Em , . A união dos vetores é independente, implicando , ou seja . Como , a soma é direta.

Passo 7

Item (e):
,
Temos , . Note que está em , mas não. Portanto a união dá , ou seja . Como , a soma não é direta.

Resposta

(a) Base de U+W: (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1). U+Wneq V. Soma não direta.
(b) Base de U+W: t^2,,t,,1. U+W=V. Soma não direta.
(c) Base de U+W:
l1&0-1&0, 0&1-1&0, 0&10&0r.
U+Wneq V. Soma direta.
(d) Base de U+W: (1,0,1),(0,1,-1),(1,-1,-1). U+W=V. Soma direta.
(e) Base de U+W:
l1&00&0, 0&10&0, 0&0-1&0, 0&01&1r.
U+W=V. Soma não direta.

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