Questão 1 (a. 1.0; b.0.5; c.0.5; d.0.5; e. 0.5) Assinale (V) para os itens verdadeiros e (F) para os itens falsos. Você deve provar os itens verdadeiros e fornecer contraexemplos ou outras justificativas para os falsos. (Dê o máximo de detalhes.)
a. (V) Sejam W1 e W2 subespaços do espaço vetorial V. Se W1 cup W2 é um subespaço de V, então W1 subset W2 ou W2 subset W1.
b. (V) Sejam W1 e W2 subespaços do espaço vetorial V. Se W1+W2=W1, então W2 subset W1.
c. (F) Seja V=F(R), F=R, f1(x)=1, f2(x)=cos ^2(x) e f3(x)=sen^2(x). O conjunto f1, f2, f3 é um conjunto L.I em V.
d. (V) Seja V=F(R), F=R, f1(x)=1, f2(x)=cos (x) e f3(x)=sen(x). O conjunto f1, f2, f3 é um conjunto L.I em V.
e. (F) Sejam B e C bases do espaço vetorial V e [P]B^C=[cc-1 & 1 2 & 3] a matrizes de mudança de base da base B para C. Seja v in V, com[v]c=binom-42, então [v]B=binom2-4.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre subespaços de um espaço vetorial, soma de subespaços, independência linear em V= F( R) e mudança de base em um espaço de dimensão 2. Vamos analisar uma a uma, provando as que são verdadeiras e dando contraexemplos para as falsas.

Passo 2

Item (a): “Sejam W1 e W2 subespaços de V. Se W1cup W2 é um subespaço de V, então W1subset W2 ou W2subset W1.”
Prova: suponha, por contradição, que nem W1subset W2 nem W2subset W1. Então existem
uin W1setminus W2, vin W2setminus W1
Como W1cup W2 é subespaço, u+v deve pertencer a W1cup W2. Dois casos:
  1. Se u+vin W1, então, como uin W1 e W1 é subespaço, v=(u+v)-uin W1, o que contradiz vnotin W1.
  2. Se u+vin W2, então, como vin W2, u=(u+v)-vin W2, contradizendo unotin W2.
Logo a hipótese de não inclusão falha, e temos de fato W1subset W2 ou W2subset W1. Portanto o item é verdadeiro.

Passo 3

Item (b): “Sejam W1 e W2 subespaços de V. Se W1+W2=W1, então W2subset W1.”
Prova direta: por definição, W1+W2=w1+w2mid w1in W1,w2in W2. Se esse conjunto coincide com W1, então para todo w2in W2 temos
0 + w2;in;W1+W2;=;W1
Mas 0+w2=w2. Logo cada w2in W2 pertence a W1, isto é, W2subset W1. O item é verdadeiro.

Passo 4

Item (c): “Em V= F( R), as funções f1(x)=1, f2(x)=cos^2x e f3(x)=sen^2x são L.I.”
Contraexemplo de dependência: lembrando que cos^2x+sen^2x=1 para todo x, escrevemos
1cdot f1(x);-;1cdot f2(x);-;1cdot f3(x);=;1-cos^2x-sen^2x;=;0
Essa é uma combinação linear não trivial que dá a função zero, logo f1,f2,f3 é L.D. Portanto o item é falso.

Passo 5

Item (d): “Em V= F( R), as funções f1(x)=1, f2(x)=cos x e f3(x)=sen x são L.I.”
Prova: suponha
acdot1 + bcos x + csen x = 0 forall xin R,
com a,b,cin R. Avaliando em três valores distintos de x:
  1. x=0: a + bcdot1 + ccdot0 = 0 implies a + b = 0
  2. x=pi/2: a + bcdot0 + ccdot1 = 0 implies a + c = 0
  3. x=pi: a + bcdot(-1) + ccdot0 = 0 implies a - b = 0
Das duas primeiras igualdades a+b=0 e a-b=0 segue b=0 e, então, a=0. Da segunda a+c=0 vem c=0. Assim a=b=c=0, logo as funções são L.I. O item é verdadeiro.

Passo 6

Item (e): “Sejam
Isso dá o sistema
Da primeira equação . O item é falso.

Resposta

a. (V)
b. (V)
c. (F)
d. (V)
e. (F)

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