Questão 1 (a. 1.0; b.0.5; c.0.5; d.0.5; e. 0.5) Assinale (V) para os itens verdadeiros e (F) para os itens falsos. Você deve provar os itens verdadeiros e fornecer contraexemplos ou outras justificativas para os falsos. (Dê o máximo de detalhes.)
a. (V) Sejam e subespaços do espaço vetorial . Se é um subespaço de , então ou .
b. (V) Sejam e subespaços do espaço vetorial . Se , então .
c. (F) Seja e . O conjunto é um conjunto L.I em .
d. (V) Seja e . O conjunto é um conjunto L.I em .
e. (F) Sejam e bases do espaço vetorial e a matrizes de mudança de base da base B para C. Seja v in V, com[v]c=binom-42, então [v]B=binom2-4.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre subespaços de um espaço vetorial, soma de subespaços, independência linear em V= F( R) e mudança de base em um espaço de dimensão 2. Vamos analisar uma a uma, provando as que são verdadeiras e dando contraexemplos para as falsas.
Passo 2
Item (a): “Sejam W1 e W2 subespaços de V. Se W1cup W2 é um subespaço de V, então W1subset W2 ou W2subset W1.”
Prova: suponha, por contradição, que nem W1subset W2 nem W2subset W1. Então existem
uin W1setminus W2, vin W2setminus W1
Como W1cup W2 é subespaço, u+v deve pertencer a W1cup W2. Dois casos:
Se u+vin W1, então, como uin W1 e W1 é subespaço, v=(u+v)-uin W1, o que contradiz vnotin W1.
Se u+vin W2, então, como vin W2, u=(u+v)-vin W2, contradizendo unotin W2.
Logo a hipótese de não inclusão falha, e temos de fato W1subset W2 ou W2subset W1. Portanto o item é verdadeiro.
Passo 3
Item (b): “Sejam W1 e W2 subespaços de V. Se W1+W2=W1, então W2subset W1.”
Prova direta: por definição, W1+W2=w1+w2mid w1in W1,w2in W2. Se esse conjunto coincide com W1, então para todo w2in W2 temos
0 + w2;in;W1+W2;=;W1
Mas 0+w2=w2. Logo cada w2in W2 pertence a W1, isto é, W2subset W1. O item é verdadeiro.
Passo 4
Item (c): “Em V= F( R), as funções f1(x)=1, f2(x)=cos^2x e f3(x)=sen^2x são L.I.”
Contraexemplo de dependência: lembrando que cos^2x+sen^2x=1 para todo x, escrevemos
Essa é uma combinação linear não trivial que dá a função zero, logo f1,f2,f3 é L.D. Portanto o item é falso.
Passo 5
Item (d): “Em V= F( R), as funções f1(x)=1, f2(x)=cos x e f3(x)=sen x são L.I.”
Prova: suponha
acdot1 + bcos x + csen x = 0 forall xin R,
com a,b,cin R. Avaliando em três valores distintos de x:
x=0: a + bcdot1 + ccdot0 = 0 implies a + b = 0
x=pi/2: a + bcdot0 + ccdot1 = 0 implies a + c = 0
x=pi: a + bcdot(-1) + ccdot0 = 0 implies a - b = 0
Das duas primeiras igualdades a+b=0 e a-b=0 segue b=0 e, então, a=0. Da segunda a+c=0 vem c=0. Assim a=b=c=0, logo as funções são L.I. O item é verdadeiro.