Em cada item, utilize multiplicadores de Lagrange para determinar o máximo e o mínimo absolutos da função sob as restrições impostas. sob as restrições e .
Passo 1
O problema pede o máximo e mínimo de f(x,y,z)=x+y+z sujeitos a x²+z²=2 e x+y=1 usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Montamos as funções de restrição g₁(x,y,z)=x²+z²−2 e g₂(x,y,z)=x+y−1. Aplicamos ∇f=λ∇g₁+μ∇g₂ junto com g₁=0 e g₂=0.
Passo 3
Calculamos os gradientes: ∇f=(1,1,1), ∇g₁=(2x,0,2z), ∇g₂=(1,1,0). O sistema fica:
Passo 4
Da segunda equação vem mu=1. Substituindo na primeira: 1=2lambda x+1 leva a lambda x=0 e na terceira 1=2lambda z dá lambda z=tfrac12. Como não podemos ter lambda=0, segue que x=0 e z^2=2, logo z=pmraiz2. Pela segunda restrição, y=1-x=1.
Passo 5
Obtemos dois pontos críticos: (0,1,√2) e (0,1,−√2). Avaliando f em cada um:
f(0,1,raiz2)=1+raiz2, f(0,1,-raiz2)=1-raiz2
Passo 6
Concluímos que o máximo absoluto é 1+√2 e o mínimo absoluto é 1−√2.
Resposta
Valor máximo de f: 1+√2 atingido em (0,1,√2);
Valor mínimo de f: 1−√2 atingido em (0,1,−√2).