Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feito com relação a variável x ou y. Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área da região.
f) x=2 y^2 x+y=1

Passo 1

A questão pede a área da região em que a parábola x = 2y^2 e a reta x + y = 1 se interceptam e limitam uma região. Isso envolve calcular uma integral dupla para área ou, mais simples aqui, usar integração simples de diferença de curvas. Vamos precisar achar os pontos de interseção, decidir o tipo de fatia (vertical ou horizontal) e montar a integral.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos de interseção resolvendo 2y^2 = 1 - y. Isso dá 2y^2 + y - 1 = 0 cujas raízes são y = -1 pm raiz1 + 84 = -1 pm 34. Logo, y = tfrac12 ou y = -1. Esses serão os limites de integração em y.
Para visualizar, desenhamos o eixo y, a parábola abrindo para a direita x = 2y^2 e a reta x = 1 - y. A região fica entre essas duas curvas, de y = -1 até y = tfrac12. Em cada fatia horizontal (ou seja, fixando y), a largura é xdireita - xesquerda = (1 - y) - 2y^2.

Passo 3

Decidimos integrar primeiro em x (fatia vertical) e depois em y. A área é A = integraly=-1^1/2 l[(1 - y) - 2y^2r] ,dy

Passo 4

Agora, calculamos a integral:
integral (1 - y - 2y^2),dy = y - y^22 - 2y^33 + C
Avaliado de y = -1 a y = tfrac12:
l[y - tfracy^22 - tfrac2y^33r]-1^1/2 = l(tfrac12 - tfrac18 - tfrac112r) - l(-1 - tfrac12 + tfrac23r) = 724 - l(-tfrac56r) = 2724 = 98

Passo 5

Assim, a área da região é dfrac98.

Resposta

98

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