Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y) = { (2xy) / raiz(x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, temos um exercício de continuidade de funções, que faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável. A gente vai verificar se a função é contínua em todos os pontos, especialmente no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade em várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em termos simples, uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em .

Passo 3

Vamos analisar a função dada:
Nos pontos onde , a função parece bem comportada. O desafio está em verificar o que acontece em .

Passo 4

Para isso, vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Uma boa estratégia é usar coordenadas polares, onde e , com sendo a distância até a origem.
Substituindo na função:
Agora, vamos analisar o comportamento desse limite quando .

Passo 5

Observando a expressão , vemos que está multiplicando as funções trigonométricas, que estão limitadas entre -1 e 1. Portanto:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Assim, pelo Teorema do Squeeze (Apreensão), o limite de quando é 0.

Passo 6

Comparando com o valor da função em , que é exatamente 0, temos:
Isso satisfaz a condição de continuidade no ponto .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do domínio, incluindo .

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