Dê o valor (caso exista) que a função deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique.
f(x) = { x se x < 1, 1/x se x > 1 } em x = 1

Passo 1

Então, a gente tem uma função que muda de expressão quando x é menor que 1 e quando é maior que 1. O exercício pede para descobrir qual valor a função deveria ter em x = 1 para que ela seja contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente significa que não tem “quebras” ou “saltos” no gráfico da função. Precisamos calcular os limites laterais quando x se aproxima de 1 por valores menores e maiores que 1 e ver se eles são iguais. Se forem, esse será o valor que a função deve ter em x = 1.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1). A função, nesse caso, é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando x se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1). Aqui, a função é .

Passo 4

Vimos que o limite pela esquerda é 1 e o limite pela direita também é 1. Como os dois limites são iguais, a função pode ser contínua em x = 1 se a gente definir o valor da função nesse ponto como sendo igual a esse limite comum.

Resposta

Para a função ser contínua em , ela deve valer 1 nesse ponto.

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