Dê o valor (caso exista) que a função deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique.
em
Passo 1
Então, a gente tem uma função que muda de expressão quando x é menor que 1 e quando é maior que 1. O exercício pede para descobrir qual valor a função deveria ter em x = 1 para que ela seja contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente significa que não tem “quebras” ou “saltos” no gráfico da função. Precisamos calcular os limites laterais quando x se aproxima de 1 por valores menores e maiores que 1 e ver se eles são iguais. Se forem, esse será o valor que a função deve ter em x = 1.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda (valores menores que 1). A função, nesse caso, é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando x se aproxima de 1 pela direita (valores maiores que 1). Aqui, a função é
.
Passo 4
Vimos que o limite pela esquerda é 1 e o limite pela direita também é 1. Como os dois limites são iguais, a função pode ser contínua em x = 1 se a gente definir o valor da função nesse ponto como sendo igual a esse limite comum.
Resposta
Para a função ser contínua em
, ela deve valer 1 nesse ponto.