Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{1+\sqrt{x}};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
f é injetiva (ou seja, se valores distintos de x dão imagens distintas),
f é sobrejetiva (ou seja, se todo y\in\mathbb{R} tem algum x\ge0 tal que f(x)=y).
A função é
f\colon \mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\frac{x}{1+\sqrt{x}}.
Para a injetividade vamos usar monotonicidade (derivada) ou argumento algébrico. Para a sobrejetividade vamos resolver a equação f(x)=y em x.

Passo 2

Verificação de injetividade por derivada:
Calculemos
f'(x) =\frac{(1+\sqrt{x})\cdot 1 \;-\; x\cdot\frac1{2\sqrt{x}}}{(1+\sqrt{x})^2} =\frac{1+\sqrt{x}-\frac{\sqrt{x}}2}{(1+\sqrt{x})^2} =\frac{1+\tfrac12\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2}.
Como x\ge0 implica 1+\tfrac12\sqrt{x}>0 e (1+\sqrt{x})^2>0, temos f'(x)>0 para todo x\ge0. Logo f é estritamente crescente, portanto injetiva.

Passo 3

Verificação de sobrejetividade:
Queremos, dado y\in\mathbb{R}, achar x\ge0 tal que
\frac{x}{1+\sqrt{x}}=y.
Colocando t=\sqrt{x}\ge0, isso vira
\frac{t^2}{1+t}=y \quad\Longleftrightarrow\quad t^2 - y\,t - y = 0.
O discriminante é
\Delta = y^2 + 4y = y(y+4).
Para termos solução real é preciso \Delta\ge0, ou seja y\ge0 ou y\le-4.
  • Se y\ge0, uma raiz válida é
t = \frac{y + \sqrt{y^2+4y}}{2}\ge0,
o que gera x=t^2\ge0.
  • Se y\le-4, apesar de \Delta\ge0, ambas as raízes vêm negativas (basta verificar y+\sqrt{y^2+4y}<0 e y-\sqrt{y^2+4y}<0), logo não produzimos t\ge0.
  • Se -4<y<0, então \Delta<0 e não há raiz real.
Portanto só existe x\ge0 com f(x)=y quando y\ge0. Assim a imagem de f é [0,\infty)\neq\mathbb{R}, e f não é sobrejetiva em \mathbb{R}.

Resposta

f é injetiva, mas não é sobrejetiva.

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