Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
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Passo 1
O enunciado pede para verificar se
– é injetiva (ou seja, se valores distintos de
dão imagens distintas),
– é sobrejetiva (ou seja, se todo
tem algum
tal que
).
A função é
–
–
A função é
Para a injetividade vamos usar monotonicidade (derivada) ou argumento algébrico. Para a sobrejetividade vamos resolver a equação
em
.
Passo 2
Verificação de injetividade por derivada:
Calculemos
Calculemos
Como
implica
e
, temos
para todo
. Logo
é estritamente crescente, portanto injetiva.
Passo 3
Verificação de sobrejetividade:
Queremos, dado , achar
tal que
Queremos, dado
Colocando
, isso vira
O discriminante é
Para termos solução real é preciso
, ou seja
ou
.
- Se
, uma raiz válida é
o que gera
.
- Se
, apesar de , ambas as raízes vêm negativas (basta verificar e ), logo não produzimos . - Se
, então e não há raiz real.
Portanto só existe
com
quando
. Assim a imagem de
é
, e
não é sobrejetiva em
.