Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f:(0,1] \rightarrow[1, \infty), f(x)=\frac{1}{x};

Passo 1

O enunciado dá a função
f\colon(0,1]\to[1,\infty),\quad f(x)=\frac1x.
Precisamos verificar se f é injetiva (um‐para‐um) e sobrejetiva (atinge todo o contradomínio). Usaremos as definições formais de cada propriedade.

Passo 2

Para injetividade, assumimos dois pontos x_{1},x_{2}\in(0,1] tais que
f(x_{1})=f(x_{2}).
Isso implica
\frac1{x_{1}}=\frac1{x_{2}}
e, como ambos os x_{i} são positivos, podemos tomar recíproco em ambos os lados, obtendo
x_{1}=x_{2}.
Logo, não existem dois pontos distintos em (0,1] com mesma imagem: f é injetiva.

Passo 3

Para sobrejetividade, pegamos um valor arbitrário y\in[1,\infty) e queremos um x\in(0,1] tal que f(x)=y. Da equação
\frac1x=y
segue
x=\frac1y.
Como y\ge1, temos 0<1/y\le1, isto é, x=1/y pertence a (0,1]. Assim, para todo y\in[1,\infty) existe x\in(0,1] com f(x)=y, e f é sobrejetiva.

Resposta

A função f(x)=1/x é injetiva e sobrejetiva, logo é bijetiva.

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