Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f: \mathbb{R}-\{1\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{1}{1-x};

Passo 1

O enunciado pede para verificar injetividade e sobrejetividade da função
f\colon \mathbb{R}\setminus\{1\}\to\mathbb{R},\quad f(x)=\frac{1}{1-x}.
O conteúdo envolvido são as definições de função injetiva (se f(x_1)=f(x_2) então x_1=x_2) e sobrejetiva (para todo y no contradomínio existe x no domínio com f(x)=y).

Passo 2

Para testar injetividade, suponha f(x_1)=f(x_2). Então
\frac{1}{1-x_1}=\frac{1}{1-x_2}.
Como x_1\neq1 e x_2\neq1, podemos multiplicar cruzado:
1-x_2 = 1-x_1 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = x_2.
Logo f é injetiva.

Passo 3

Para testar sobrejetividade, dado y\in\mathbb{R}, resolvemos
y = \frac{1}{1-x} \quad\Longrightarrow\quad 1-x = \frac{1}{y} \quad\Longrightarrow\quad x = 1 - \frac{1}{y}.
Esse x está no domínio sempre que y\neq 0. Porém se y=0 não há solução, pois não existe x tal que 1/(1-x)=0. Assim a imagem de f é \mathbb{R}\setminus\{0\} e f não é sobrejetiva em \mathbb{R}.

Resposta

f é injetiva e não é sobrejetiva, pois não existe x com f(x)=0.

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