Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f:(-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{1+x};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f:(-1,\infty)\to\mathbb{R},\quad f(x)=\frac{x}{1+x}
é injetiva e se é sobrejetiva. Para isso vamos usar a definição de injetividade (olhar se valores diferentes de x dão valores diferentes de f(x)) e de sobrejetividade (verificar se todo y\in\mathbb{R} tem um x tal que f(x)=y). Concretamente, vamos estudar a monotonicidade via derivada para a injetividade e calcular a imagem de f (limites nas bordas do domínio) para a sobrejetividade.

Passo 2

Calcular a derivada para checar monotonicidade.
f'(x) =\frac{(1+x)\cdot1 - x\cdot1}{(1+x)^2} =\frac{1+x - x}{(1+x)^2} =\frac{1}{(1+x)^2}.
Como em (-1,\infty) temos 1+x>0, segue que (1+x)^2>0 e portanto
f'(x)>0\quad\text{para todo }x\in(-1,\infty).
Logo f é estritamente crescente e, por isso, é injetiva.

Passo 3

Determinar a imagem de f usando os limites nas extremidades do domínio:
  1. Quando x\to -1^+, escrevendo x=-1+\varepsilon com \varepsilon\to0^+,
f(x)=\frac{-1+\varepsilon}{\varepsilon}=-\frac{1}{\varepsilon}+1\longrightarrow -\infty.
  1. Quando x\to+\infty,
f(x)=\frac{x}{1+x} =\frac{1}{1+1/x}\longrightarrow1.
Como f é contínua e estritamente crescente, sua imagem é o intervalo
\bigl(-\infty,1\bigr).
Esse intervalo não é todo \mathbb{R}, pois não alcança valores \ge1. Portanto f não é sobrejetiva em \mathbb{R}.

Resposta

A função é injetiva mas não é sobrejetiva.

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