Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
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Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é injetiva e se é sobrejetiva. Para isso vamos usar a definição de injetividade (olhar se valores diferentes de
dão valores diferentes de
) e de sobrejetividade (verificar se todo
tem um
tal que
). Concretamente, vamos estudar a monotonicidade via derivada para a injetividade e calcular a imagem de
(limites nas bordas do domínio) para a sobrejetividade.
Passo 2
Calcular a derivada para checar monotonicidade.
Como em
temos
, segue que
e portanto
Logo
é estritamente crescente e, por isso, é injetiva.
Passo 3
Determinar a imagem de
usando os limites nas extremidades do domínio:
- Quando
, escrevendo com ,
- Quando
,
Como
é contínua e estritamente crescente, sua imagem é o intervalo
Esse intervalo não é todo
, pois não alcança valores
. Portanto
não é sobrejetiva em
.
Resposta
A função é injetiva mas não é sobrejetiva.