Em cada item, verifique injetividade e sobrejetividade das funções. Quando alguma das propriedades falhar, justifique.
f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}, f(x)=\frac{x}{x^{2}+1};

Passo 1

O problema pede para a função
f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Q},\qquad f(x)=\frac{x}{x^2+1}
verificar se é injetiva e se é sobrejetiva. Vamos usar o teste de injetividade (comparar f(a)=f(b)) e analisar o conjunto imagem para a sobrejetividade.

Passo 2

Teste de injetividade. Suponha f(a)=f(b) com a,b\in\mathbb{Z}. Então
\frac{a}{a^2+1} = \frac{b}{b^2+1}.
Multiplicando em cruz:
a(b^2+1)=b(a^2+1) \quad\Longrightarrow\quad ab^2 + a = a^2b + b \quad\Longrightarrow\quad ab^2 - a^2b = b - a.
Colocando em evidência b-a:
ab\,(b - a) = -(a - b) = b - a.
Se b\neq a, podemos dividir por (b-a) e obter ab=1. Mas a,b são inteiros, logo as únicas soluções de ab=1 são a=b=1 ou a=b=-1, o que contradiz b\neq a. Portanto a única opção é b=a. Concluímos que f é injetiva.

Passo 3

Teste de sobrejetividade. Note que, para todo x\in\mathbb{Z},
|f(x)| = \left|\frac{x}{x^2+1}\right| \le \max_{n\in\mathbb{Z}}\frac{|n|}{n^2+1} = \frac{1}{2}.
Isso significa que \operatorname{Im}(f)\subseteq \bigl[-\tfrac12,\tfrac12\bigr]\cap\mathbb{Q}. Por exemplo, não existe x\in\mathbb{Z} tal que f(x)=1. Logo f não é sobrejetiva em \mathbb{Q}.

Resposta

A função f é injetiva e não é sobrejetiva.

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